玄人はずしの電脳学入門Part0007

　
　うーーーーー。おいらのブログのメインコンテンツなのに進まないこと、進まないこと。８ヶ月ぶりっす。四回書き直して、不満たらたら。このペースだと終わるのにあと５０年かかっちゃう。書いてるおいらのお墓も苔むしてるって・・・だーーーー、根性第一！ファイト！一ぱーーーーつ。
　さてと、愚痴もここまでさて本文。

００７「計算」の歴史（４）


　さてさて、予定より一年以上おくれているてえか、ほとんど進んでないので急ぎたいけど、実は少し遠回り。前回、「減法とは一つの集合から、一部、同等及びそれ以上を取り除いた残りの数を定める事を目的とした加法の逆算であり。対象数の定められた数より、定められた計算数だけ途中から逆に確数することである。」ってとこまでやった。今回は予定では乗法(掛け算)をやる予定だったが、ちょっと予定変更。「記数法」をやります。(注１２)こらこら、親指下に向けてウーウー、ブーイングしない。どーーしても必要だからやってんの！先に進むよ、先に！さてと、ここでみんなに少し注意をうながさなければならないことが一つ。それは「数」の概念と「記数」の概念とは密接に関連しあってはいても基本的には別の概念であるってこと。(注１３)はい、そこそこ目を点にして絶句しない。さっきまでの元気はどうした？おいらの説明も不足してたけど、そこで驚かない。本来ならここで数の概念の最大の特徴である「無限」の概念について語るべきなんだろうけど、其れ語ると長ーーーーい話になっちゃうんで今回は省略。いづれやります。(注１４)さて、いつものように事実からはいろーか。さて、「記数」とはなんぞや？ちなみに「数を記すことです」って同義反復はなしだよ。はい、そこ勢い良く上げた手をゆっくり戻さない。・・・・・シーンとしちゃったね。お通夜みたい。直接的には無理か？じゃ、質問を変えよう。「なぜ、人間には「記数」が必要か？」ってのはどうだ！はい、数を忘れないためです。正解。(注１５)ただし、３３点。実はあと二つ必要な理由がある。さ、考えて、考えて。・・・では、最初の正解を考えてごらん。「数を忘れないため」。では、数を忘れちゃうとどうして困るの？・・・数字は続くーよ、どーこまでもー、ぽっぽー♪って歌ってみたりして。ごめんなさい。怖い顔して怒んない。さて、どうして？答えは「次の計算ができないから」。？？？？？？。Part0005でやった事を思い出して欲しい。計算には「目的」があり、最終的には「二項処理(マニピレーション)」されると言うことを。しかし、実は「二項処理(マニピレーション)」で直接処理することの出来ない数多くの計算が実在する。できるのは原理的には加減(足し算引き算)までだ。その上、加減であっても三項以上の計算は直接処理することが出来ない。例えば、２＋３＋４みたいな計算だ。だいたい、最初から二項じゃ無いんだから二項処理できるわけない。この場合、逐次処理と言うものを行う。って言ってもそんなに難しい話じゃない、順番にやってきましょうってこと。上記、計算に例えると２＋３＝５、５＋４＝９。答えは９って感じ。ここで注目は「５」。この数字は問題にも答えにも存在しない、しかし「計算」の過程で必然的に生じる必要性によって造られる。こういう数字を対象数、計算数との間を繋ぐ事から「中間数」(注１６)と呼ぶ。多項計算等を行う場合、中間数を必要とし記憶できない場合には記して置かなければ計算が出来なくなるってわけだ。最後にもう一つ、さて、何ぞや？考えて、考えて。・・・ふーーーー。はいはい、ここが今回の肝だよ。計算機は何でいろいろなことができるんだった？はい！数が大きいからです。じゃあ、なぜ、人間には「記数」が必要なんだい？・・・・えーーーと、大きい数を表すため？正解！・・・・？？？？う〜む、みんな狐につままれたような顔してるね。さて、ここで事実の確認に戻ろう。数を表すためにはまず「単語」が必要でありそのために専門の単語である「数詞」が生まれた。それは「順序」をもち特定の数と「対応」することを必要とする。するってえと人間は１００まで数を数えるためには１００個の「数詞」を覚えなければならないし、１万まで数えるためには1万個の「数詞」を覚えなければならないわけだ。みんな、１００個、数詞言える？おいらは零、一、二、三、四、五、六、七、八、九／十、百、千／万、億、兆、京、垓（がい）𥝱（じょ）穣（じょう）溝（こう）澗（かん）正（せい）載（さい）極（ごく）恒河沙（ごうがしゃ）阿僧祇（あそうぎ）那由他（なゆた）不可思議（ふかしぎ）無量（むりょう）大数（たいすう）／グーゴル／グーゴルプレックスの三十三種類しか知らない。しかし、時間さえあれば１万でも１０万でも数えられるし一兆でも１００兆でも記載することができる。それはなぜか？一言でいうと「数詞を場所(位)で置き換えている」からだこれを「位取り記数法」と呼ぶ。おそらく、最初は置石だったに違いない。指で十まで数えて石を一つ置いていく、数え終わったら、今度は石を数えて十ごとに別の場所に石を置く、表せるようになるまで之を繰り返す。石を置く「場所つまり位置」が「位」になった。実はこの「位取りの論理」は「数そのものの発見」に匹敵する大発見であり、この論理がやがて「幾何学」を大発展させることになるのだけど、寄り道してるほど時間があるわけじゃないので今回は省略。(注１８)というわけで、「記数法」の定義および基礎概念については一応説明しましたので、具体的な応用およびその分類と利用法については次回００８「計算」の歴史（５）から。



(注１２)数学的には「命数法」と「記数法」は別個に分類し記載しますが、本稿ではとりあえず両者の内容を「記数法」の名で統一的に記載します。あしからず。

(注１３)「数」の概念はやってきたように等価則を利用した量を表す言語概念だか、「記数」はそれを表すために創られた専門の単語群である「数詞」の構成原理を表す。

(注１４)一応、少しだけ解説。後々、出てくるけど数は論理的に等価されているために、様々な形で「類推」が可能となる。この類推を極限まで突き詰めると「無限」の概念が必然的に出てくる。「一番大きな数ってなんだろう？」てな感じの疑問がこの種の類推の典型であり、この極限が「無限大」になる。「無限」の概念は大で考えるより小で考えたほうが実は理解しやすく、「実感」を得易い。おいらが昔、寝れなくなるほど悩んだ「アキレスとかめ」の話は小の方の典型。最新の数学的研究によれば無限概念の異差についての研究が近年進んでおり特に「濃度」についての研究はこれからの数学を考えるキーコンセプトになるのではないかと期待されているんだそうだ。

(注１５)あと、正確には「必要とされる特定の数を忘れないため」が正しい。

(注１６)「中間数」は本質的には「計算数」の一種であり、その途中経過もしくは一時的に対象数化した計算数を処理するための重複計算数をさす。計算機における「メモリー(記憶装置)」の起源は本質的にここにある。

(注１７)ちょっと先走ると、この場所の選定が代用数字としての「算盤」であり、箱に砂を撒き、指で「輪」もしくは「線」を書き入れてから石をおく「砂算盤」が出てきたのが確認されているところでは約５７００年ほど前の話。

(注１８)「一進法」と「数直線の公理」の関係について書こうと思ったのでがすんません、疲れちゃったので次回冒頭において説明します。とほほ。

(参考文献)

そろばんの歴史　　　　　　　　鈴木久男　戸谷清一
計算機の歴史　　　　　　　　　戸谷清一
続　身近な数学の歴史　　　　船山良三
記数法理論　　　　　　　　　　纐纈二三雄
記数法の展開・位取り法・算盤　吉田隆

近畿大学研究紀要1975.5　三号
１０進命数法の語源的発生の研究(2)-(2) 楠本隆
等