「失業手当」とは

解説サイトはいくつかあったが以下のがわかりやすかった。
https://www.orixbank.co.jp/column/article/230/
（ちなみに「傷病手当」との区別は追記にした）

失業し、次の職業につくまでは無収入になってしまうので、
一種の補助金が支給される。
これが「失業手当」「失業保険」と呼ばれるもの。
前職場からの離職票とその他書類一式をハローワークに提出する。
ことのときの注意！
「働く気持ちはあるが仕事が見つからない」状態であることを示す必要がある。
つまりハローワークでいきなり「失業保険ほしいです」と申し込むのでなく、
求職票（こういう仕事につきたい）を書いて、その上で
そういう仕事につけるまでの失業保険を申請するわけ。
自己都合退職なら３ヶ月、職場都合（人員整理とか)なら６ヶ月は給付される。
妊娠出産や病気により離職の場合は、最大３年まで給付期間が伸ばせる。

この失業保険の給付申請のときに、自己都合退職でなく
「うつ病になった」ことにして医師に診断書をもらえば
給付期間が延びて働かずにお金もらえるっていううまい話された、ってことらしい。
実際には「申請手続き代行」とかでお金とられちゃうし、
詐病（病気だと嘘をつく）であれば申請した本人が犯罪を犯したことになる。
「こうするとたくさんもらえる」と提案した代行会社には何の責任もかからない。

うまい話には裏がある、というだけのこと。

追記；
もし本当に「うつ病」であり、仕事をやめてはいないが
病気のせいで仕事ができない「休職」状態なら「傷病手当」が受けられる。
最長１年６か月まで。
１年６か月より前に復職できた場合、復職から１年６か月以内に
同じ病名で再度の休職が必要になった場合は、通算で１年６か月になるまで
傷病手当がうけとれる。
同じ病名で、復職後１年６か月以上経過したあとの休職であれば、
再び「通算１年６か月になるまで」の傷病手当が受け取れる。

傷病手当を受けている間は失業手当は受けられない。
傷病手当を受けている間に自己都合もしくは職場都合で失職した場合、
傷病手当が終了したあとで失業手当を申請できる。

■「うつ病」虚偽診断の誘導も＝失業保険サポートでトラブル急増―申請者が刑事罰の可能性・国民生活センター
(時事通信社 - 01月07日 15:01)
https://news.mixi.jp/view_news.pl?media_id=4&from=diary&id=8623195