テセレーションコミュの曲面テセレーション

テセレーションを３次元空間内の曲面として展開している例を紹介します。

まずは、阿原先生のHyplane。
Hyplaneとは、双曲平面の多面体モデルです。
２等辺三角形に鳥のテセレーションを描いた作品が掲載されています。
鳥は、メタモルフォーゼしているもようです。

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Labo/9021/meta_bird/index.html

論文はここ
http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/2101/21010005.pdf

コメント(29)

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[1] mixiユーザー 12月04日 00:38

Australian National UniversityのStephen Hydeらによる
双曲平面を３次元の周期最小曲面上に展開した研究

エッシャーの天使と悪魔のモチーフを使っいます。
かなりきれい。

http://epinet.anu.edu.au/mathematics/covering_maps

[2] mixiユーザー 12月04日 00:52

ミネソタ大のDoug Dunhamさんの作品

二つ穴トーラス上に、EscherのCircle Limit IIIの魚を描いている。
かなり伸びた魚になっています。

http://www.d.umn.edu/~ddunham/sculptures/index.html

二つ穴トーラスを二つ違う感じでつくっているが、
後者の方が、ゆがみがなるべく均一でよいかも。

[4] mixiユーザー 12月04日 22:28

copyrighted by X.Gu

Stony BrookのGuさんの作品

双曲テセレーションではなく普通のテセレーションですが、
Costaの最小曲面への展開の例です。

http://www.cs.sunysb.edu/~gu/publications/technical_report.htm#Euclidean_Ricci_flow

バッハとゲーデルのテセレーションはEscherizationのCraigさんのものです。
http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/escherization/di/godelbach.jpg

[5] mixiユーザー 12月05日 22:59

Copyrighted by Pushkar Joshi and Carlo Sequin

バークレイのSequin先生の作品
American Mathematical Societyの2007年カレンダーに載っているんだそうです。

形からして、このMinimum-Variation Surface上に貼り付けたもののようです。
等角性とかはあまり考えてないかもしれないけど、
この３つ穴トーラスは、わりときれいです。
http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/MVS/index.html

[6] mixiユーザー 12月22日 18:45

(4)のStony BrookのGuさんの作品のアニメーション

http://jp.youtube.com/watch?v=qsqt2efDeCI

[7] mixiユーザー 01月11日 17:13

これも双曲面ではないですが、トーラスに巧みにはりつえけている
Ribault, Dominiqueさんのページです。
http://www.polytess.info/

[8] mixiユーザー 05月15日 11:40

Billさんの球面テセレーションの解説と３つの作品

http://www.miracerros.com/artwork/g_sphere_layout.htm

http://www.miracerros.com/artwork/i_spheres.htm

[9] mixiユーザー 01月14日 22:43

サイエンスアゴラ2011でお見えした中村さんのテセレーションボール
およびその発展形のまとめページです
すごすぎです。

http://www.k4.dion.ne.jp/~mnaka/spherical/tball.html
http://www.k4.dion.ne.jp/~mnaka/spherical/tball_2.html

[10] mixiユーザー 01月14日 22:46

free flovverさんのご紹介の内容もこちらに転載します。

折り鶴模様のテセレーション（P2）の４面体貼り付けおよびバリエーションです。

http://d.hatena.ne.jp/JunMitani/20111205
http://origami.asablo.jp/blog/2011/12/05/6234015
http://origami.asablo.jp/blog/2011/12/24/6260090

[11] mixiユーザー 01月15日 00:05

http://www.shogakukan.co.jp/pr/mikan/
http://ameblo.jp/artes/
曲面テセレーションとは言えないかもしれませんが、
鶴一つで四面体が出来るのがOKでしたら、みかんの皮むきも???

[13] mixiユーザー 01月15日 08:53

>suckさん
ご紹介ありがとうございます。

あたらしいミカンの剥き方も、立派な球面テセレーションですね！
要素種類１つ、要素数の１つで空間を埋め尽くせるのは球面テセレーションならではです。

わたしは、特に「伊勢海老」がだいすきです。表現の可能性をかんじます。

折り鶴では、平面上のテセレーションから立ちあげられるのがポイントです。

基本的に壁紙群が「P2」のテセレーションであれば、4面体には立ちあげられるので
時間があれば、やってみたいです。

[14] mixiユーザー 01月15日 12:37

>alyさん。ありがとうございます。
私のお薦めは"いか"です。
動物のやつはみかんのヘタが目になっていたりと芸が細かい。
午年までにはウマの形に切り抜けるように頑張りますw
折り紙がサークルパッキング理論で構築されるように
数学的な理論で新しいものが生まれると面白いかもしれませんね。
http://news.walkerplus.com/2011/0116/7/photo03.html
ワークショップの模様はニコ生やテレ朝(明日朝9:00頃?)放送予定だそうですので
お手すきの方はぜひ御覧くださいw

ちょっと脱線すると和歌山むきなんてのもあるんですね
http://karapaia.livedoor.biz/archives/51588437.html

[15] mixiユーザー 04月22日 19:26

5のsequin先生の論文はこれですね。
http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/PAPERS/Bridges06_PatternsOnTetrus.pdf

[16] mixiユーザー 04月12日 06:57

sequin先生の他の論文
http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/CS284/PROJ_09/KERSTIN/Final%20Report.pdf

[17] mixiユーザー 08月02日 09:53

Pattern Mapping with Quad-Pattern-Coverable Quad-Meshes
という論文。これはおもしろくて素敵な絵が満載。
https://www.viz.tamu.edu/faculty/ergun/research/topology/papers/smi12.pdf

[18] mixiユーザー 08月03日 14:25

>>[14]
> 数学的な理論で新しいものが生まれると面白いかもしれませんね。

みかんの表面を離散化して多面体と考えれば、
その皮からできる模様は、多面体の展開図ですね。

多面体にどのような展開図があるかというと、
ちょっとしたものでもかなりある。そして展開図が平面で重ならないとも限らない

共同研究でお世話になっている先生が展開図の列挙をやられています。
http://www.al.ics.saitama-u.ac.jp/horiyama/research/unfolding/index.ja.html
たとえば正２０面体の展開図はこんなにある。
http://www.al.ics.saitama-u.ac.jp/horiyama/research/unfolding/r05.pdf

この中から面白い展開図となる模様をみつけるというのはたのしいですね。
なにをもって面白いかというのは、テセレーションと同じくらいむずかしいですが。

[19] mixiユーザー 08月03日 14:28

17も奇麗ですが、
より種数の多い曲面でのタイリングの可視化だそうです。
タイルの領域がのびすぎててよくわかりませんが、こういう上にもテセレーションを載せたい
http://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-225.pdf

[20] mixiユーザー 08月06日 08:01

18の補足ですが
>そして展開図が平面で重ならないとも限らない

「ランダムな凸多面体をランダムに展開すると実験的にはほぼ確率１で重なってしまう」のだそうです。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~tanigawa/coss/coss2014/uehara.pdf

[21] mixiユーザー 10月20日 23:00

テセレーションではないですが、Minimal Surface上の模様をプリンターでつくったもの
http://www.fubiz.net/2014/10/11/3d-printed-sugar/3d-printed-sugar-19-2/

http://www.fubiz.net/2014/10/11/3d-printed-sugar/3d-printed-sugar-3-2/

[22] mixiユーザー 10月20日 23:05

>あたらしいミカンの剥き方も、立派な球面テセレーションですね！
>要素種類１つ、要素数の１つで空間を埋め尽くせるのは球面テセレーションならではです。

今年のアゴラ用に作成した「要素種類１つ、要素数の１つ」の球面テセレーションです。
さらにおもしろいことに、剥いた形から異なる５つのみかんの形をつくることができます。

これは今年熱中している計算折り紙の研究成果の一つで
•みかん＝凸立体
•剥いた形＝展開図
という関係になっています

[23] mixiユーザー 01月28日 05:55

双曲平面上のテセレーションを双曲面（二葉双曲面の一葉）上に射影したもの

http://www.d.umn.edu/cs/thesis/kedar_bhumkar_ms.pdf

双曲面（二葉双曲面の一葉）上に射影は、
ハイパボロイドモデル、ミンコフスキーモデル、ローレンツモデルとよばれています。
上では、ワイエルシュトラスモデルといっています。
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid_model

[24] mixiユーザー 05月17日 08:28

5のSequin先生の2007年の論文のテセレーションもおもしろいです

http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/PAPERS/2007_Bridges_HyperbolicTiles.pdf

[25] mixiユーザー 05月31日 23:27

http://www.j-tokkyo.com/2015/05/14/120793.html
ある意味曲面。。。アートですが。

[26] mixiユーザー 11月22日 07:32

円柱、円錐以外の、展開図の描ける曲面第5回プログラマのための数学勉強会
http://www.slideshare.net/taro50514/5-55358429
slide34の可展面のノットがすごい
地図がくる返しているようにみえるが、
基本領域の形は微妙に違うのだろうかきになる

[27] mixiユーザー 11月22日 07:34

[[25]]
これですね
https://web.archive.org/web/20150722152522/http://www.j-tokkyo.com/2015/05/14/120793.html

[28] mixiユーザー 03月04日 19:05

Pi-Balled
Hand-cast urethane rubber
http://www.johnrausch.com/designcompetition/2015/#41

[29] mixiユーザー 03月06日 19:52

[4]のリンク
https://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/publications/technical_report.html