実数の数直線は実数の集合だが、数には幅が無いので、幅が無いものをいくら集めても数直線など構成できず、従って、実数の数直線は、それ自体がパラドックスだ。
数直線が存在しないのなら、デデキント切断も不可能だ。
そこでデデキント切断を可能にすべく、考えたのが図のような実数のデデキント切断面です。実数をちょうど１の所で切った図です。
切断面ですから、当然、二つの切断面が現れるのですが、片方が１で有った場合、もう片方の切断面は、Ω（オメガ）なのではないでしょうか？
オメガは有理数と無理数との間の数ですから、矛盾していないと思います。
そしてオメガは幅を持つと考えます。ちょうど、サンドイッチのように、個々の実数の間をオメガがつないでいると考えるのです。
そうすれば数直線を構成する事が可能に成り、デデキント切断も可能に成ります。
ここで言うオメガとは連続体仮説に出てくるオメガのことです。
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連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。
1個よりも多い最小の個数は2個である。2個よりも大きい最小の個数は3個である。このように、有限の個数に対しては1を足すことでそれ自身よりも大きい最小の個数を得ることができる。では無限の個数に対してはどうであろうか。
自然数や実数は無限個存在する。これらの個数は異なるはずであるが、個数という呼び方をする限りいずれも「無限」である。これに対して、有限集合の場合の要素数の概念を無限集合にまで拡張した「集合の濃度」（二つの集合間に一対一対応が存在するとき二つの集合の濃度は等しいとする）を考えることにより2つの無限は区別される（詳細は濃度を参照）。
無限集合の濃度（無限の個数）で最も小さいものは可算濃度（自然数全体の集合の濃度）である。しかし、可算濃度の無限集合に要素を1つ追加した集合もやはり可算濃度であり、有限集合の場合のように新しい濃度にはならない。
可算濃度の無限集合同士の合併集合も可算濃度である。しかし、実数全体の集合は可算濃度ではないことが示された。そこで次に、可算濃度よりも大きい最小の濃度は連続体濃度（実数の集合の濃度）であろうと考えられた、これが連続体仮説である。
自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。もう少し正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。
自然数の全体を N と書き、そこにふくまれる自然数の個数（濃度）を可算濃度 ℵ0（アレフ・ヌル）と呼ぶ（「可算」とは「数えられる」の意。可付番濃度とも言う）。
また、実数の全体を R と書き、そこに含まれる実数の個数を連続体濃度 ℵ と書く。さらに集合 M の濃度を card M で表すことにすれば、連続体仮説は
ℵ0 < cardΩ < ℵ
なる集合 Ω が存在しないという主張であると言い表される。
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数直線が存在しないのなら、デデキント切断も不可能だ。
そこでデデキント切断を可能にすべく、考えたのが図のような実数のデデキント切断面です。実数をちょうど１の所で切った図です。
切断面ですから、当然、二つの切断面が現れるのですが、片方が１で有った場合、もう片方の切断面は、Ω（オメガ）なのではないでしょうか？
オメガは有理数と無理数との間の数ですから、矛盾していないと思います。
そしてオメガは幅を持つと考えます。ちょうど、サンドイッチのように、個々の実数の間をオメガがつないでいると考えるのです。
そうすれば数直線を構成する事が可能に成り、デデキント切断も可能に成ります。
ここで言うオメガとは連続体仮説に出てくるオメガのことです。
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連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。
1個よりも多い最小の個数は2個である。2個よりも大きい最小の個数は3個である。このように、有限の個数に対しては1を足すことでそれ自身よりも大きい最小の個数を得ることができる。では無限の個数に対してはどうであろうか。
自然数や実数は無限個存在する。これらの個数は異なるはずであるが、個数という呼び方をする限りいずれも「無限」である。これに対して、有限集合の場合の要素数の概念を無限集合にまで拡張した「集合の濃度」（二つの集合間に一対一対応が存在するとき二つの集合の濃度は等しいとする）を考えることにより2つの無限は区別される（詳細は濃度を参照）。
無限集合の濃度（無限の個数）で最も小さいものは可算濃度（自然数全体の集合の濃度）である。しかし、可算濃度の無限集合に要素を1つ追加した集合もやはり可算濃度であり、有限集合の場合のように新しい濃度にはならない。
可算濃度の無限集合同士の合併集合も可算濃度である。しかし、実数全体の集合は可算濃度ではないことが示された。そこで次に、可算濃度よりも大きい最小の濃度は連続体濃度（実数の集合の濃度）であろうと考えられた、これが連続体仮説である。
自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。もう少し正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。
自然数の全体を N と書き、そこにふくまれる自然数の個数（濃度）を可算濃度 ℵ0（アレフ・ヌル）と呼ぶ（「可算」とは「数えられる」の意。可付番濃度とも言う）。
また、実数の全体を R と書き、そこに含まれる実数の個数を連続体濃度 ℵ と書く。さらに集合 M の濃度を card M で表すことにすれば、連続体仮説は
ℵ0 < cardΩ < ℵ
なる集合 Ω が存在しないという主張であると言い表される。
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