数学コミュのモンティ・ホール問題

数学病の人が多そうなのでトピを作りました

ゲームのルール

(1) 3つのドア (A, B, C) に（景品、ヤギ、ヤギ）がランダムに入っている。
(2) プレイヤーはドアを1つ選ぶ。
(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
(5) モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。

ここでプレイヤーはドアの選択を変えるべきか否か？

モンティ・ホール問題 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

Monty Hall problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

コメント(241)

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[202] mixiユーザー 05月22日 09:59

こんものなんどもやったら
胴元は破産してプレーヤーは億万長者になるw

[203] mixiユーザー 05月22日 21:32

この問題のキモは、封筒を変えると期待値が高くなるのは本当なのか、というところです。

結局はランダムに二つの封筒のどちらかの金額を受け取るわけですから、
最初に選んだ封筒の金額の期待値と、もう一方の封筒の金額の期待値は、
等しいと考えることもできます。

さて、どちらがおかしいのでしょうか？

[204] mixiユーザー 05月22日 23:31

>>[203]　2段落目がよくわかりませんでした。

>>[201] 一回しかやらない博打の場合、期待値を参考にする判断は、
サイコロを振って賭けをするか否かの判断と比較して当たる可能性が高い（合理的？）なのでしょうか。

[205] mixiユーザー 05月23日 06:31

おはよう朝日っていう大阪で流れてた朝の番組でこういうのがあったなあ

毎日
大勢のハガキ応募者から一人当たる（実はここではまだ選ばれただけなんですが）
賞金いくらだったか・・・

で、生放送中に朝のばたばたしてるお宅に直撃電話する
電話にでないとその人はスルーされちゃって次の当選者を選び
時間内にでるまで何人かくり返す
時間がきちゃったら当選基本金額をロトくじみたいに明日に加算する

なんとかつながった場合
さらに
そこでまた
おこづかいもっと増やしましょうよ、2択やりませんか？
と司会アナウンサーが誘うわけです

天使さんのいる箱はどっちだ

奇跡的に当たってもここで悪魔をつかんじゃった半分の方はステッカーかタオルになっちゃうのです
残念でした

番組側の出費は毎日の基本金額となんらかわらないかというとそうではなく
積立された分が消えちゃうのです
また明日は基本金額から
せこいw

[206] mixiユーザー 05月23日 07:02

期待値という幻想が実現するのは、無数の反復の結果です
温度のような指標にすぎない
反復の過程で人為操作をこっそり混ぜ込んで期待値を変更することがポイントです

これは胴元の策略です
プレーヤーというのは胴元のルールに踊らされるという意味ですよ

[207] mixiユーザー 05月23日 07:10

無から有を生みだす

その原動力が欲です
欲を誘うのが期待値という手の届く彼方にある幻ですね

[208] mixiユーザー 05月23日 07:13

最初にみせびらかす餌としての期待値は途中で必ず変更されるのです

[209] mixiユーザー 05月23日 07:32

あるいはまた、約束されたルールが守られるとは限りません

その場合
プレーヤーがぶちきれて
ゲーム世界が破綻消滅します

保存則は敗れません
プレーヤーの資産がどこかに移動しただけです

移動のための誘いが期待値という幻だったということですね

期待値は物理の世界の質量や電荷に似た幻でしょうか
虚数質量や電荷のような例えばモノポール磁荷みたいな

[210] mixiユーザー 05月23日 10:17

P(A)=E[1(A)], 1(A)=1 if ω∈A, 0 otherwise
なので、確率は期待値の特殊な場合として考えることはできます。

[211] mixiユーザー 05月23日 12:30

それはあたりまえです
全体を１とみる場合はすべて期待値って論法ですね

[212] mixiユーザー 05月23日 12:33

ていうか期待値の場合は、途中で変わっちゃうんだから
全体を１とみることに難があるかも

[213] mixiユーザー 05月23日 12:34

確率はかわりません
かわらないからものごとの尺度になりうる

[214] mixiユーザー 05月23日 13:51

しかし、期待値というものが
この精神世界の幻が
現実の世界を動かしています

異次元からの影響力が現実に作用している
次元という概念が適切な表現なのかわかりませんけど

人間の行動は動機に基づいています
たんなるランダム現象のブラウン運動ではないということですよね

人間社会は発展する
エントロピーが増大するように

経済は破綻と膨張を繰り替えしています
沸騰するお湯から、湧き出ては、はじける、泡のようです

[216] mixiユーザー 05月23日 19:06

あるよ
そんなの

視力がめっちゃよければw
あるいは直前に覚えた問題がたまたまたくさんあったとか
あたまに無線の骨伝導のスピーカーとカメラを仕込んでとか（笑

あるあるw

学校なんてどこでもいいじゃないの
でも俺ならブタのケツよりありんこの王様を目指すだろうな
どうせ授業なんて聞かなくても
そんな無駄な時間に勉強すればいいのだ

なんで学校なんていくかね（笑

[218] mixiユーザー 05月23日 19:52

FBに数学の問題を投げ込んだら答えてくれるようなものはないのかとどっかで話してましたよね
FBにそういうのあるんですか？

[220] mixiユーザー 05月23日 20:04

＞でも、私立バカだ・・・大学出でも、発言できるかと思います。

小学校中退の超電導ゼロスが落書きしてると
大卒の頭のいいひとは寄り付かないんだねw

ごめんなさいね
そろそろ飽きたんでもう大丈夫かもですよ

[223] mixiユーザー 05月23日 21:33

>>[204]

一方が他方の2倍という条件をはずして、2つの封筒に入っているお金の金額は違うだけだとします。

2つの封筒に入っている金額をそれぞれa円、b円とすると、
選んだ封筒の金額の期待値は、

　(a + b) / 2 円

封筒の選択を変えた場合の金額の期待値は、

　(a + b) / 2 円

封筒の選択を変えても期待値は増えません。

このことから、問題の条件でも封筒を変えても変えなくても期待値が同じになる、と考えることもできます。

これがこの問題のパラドックスです。

[224] mixiユーザー 05月23日 23:04

>>[223]　なるほど封筒の中身が違っていても期待報酬は同じなのは当然ですね。
でも何に矛盾しているのかがわかりません。

[225] mixiユーザー 05月23日 23:12

>>[216]　私が大学に行ったのは漠然としていましたが、でも数学を勉強したいという気持ちでいきました。なので、他の科目の価値は全く感じられなくて全く勉強しませんでした。
なぜかわからないけど例外は化学かな。

大学院は明確な目的があって、専門分野の一流の研究者がいると聞いてそちらへ。
今でもそのボスの研究姿勢には頭が下がります。

じゃあなんで勉強したいのか？については、問題によるんですが、シンプルだけど解くのがやや難しいパズルとして数学を見ているからです。パズルぽければ数学だけではなくて情報系もめちゃくちゃおもしろい時があります。

[226] mixiユーザー 05月24日 01:55

＞標準偏差や偏差値？で学校を受験する。

このお題についての話ですから
わたしにアンカー打ってこられてもねえ（笑
あなたの個人的な事情などわたしはどうでもいいわけですよw

具体的におもしろいパズルとやらでも張り付けて皆さんにみてもらいなさいよ
わたしもみるかもしれませんよ

[227] mixiユーザー 05月24日 02:02

２２２
フィーバーしてますね

ただ、その絵はちょっと、まだ理解できないかも
手拍子でイイネしましたw
ご参考までに

[228] mixiユーザー 05月25日 17:57

>>[226]

それは私の不注意でした。彼にそう言っていたのですね。

おもしろいパズルは、それを貼ると、自分の名前ももれなく特定されてしまうので
控えています。

[229] mixiユーザー 05月27日 22:15

>>[191] ２つの封筒問題

答えは、取り替えても取り替えなくても金額の期待値は同じ

2つの封筒
http://members3.jcom.home.ne.jp/zakii/enumeration/62_envelope.htm

[230] mixiユーザー 05月28日 09:56

封筒の問題として１９１で言い出した意味不明な問題を
文章が似てるが意味がまったく違う問題に変えてきて

ぬけぬけと１９１の答えはこれですみたいな
びっくりですなw

ところで
期待値が変わらないのは
確率が変わらす、お金が勝手に変化しないからで
当たり前なの

確率分布とか持ち出す必要などまったくない
それを持ち込んで当たり前の結論がでても
その確率分布が正しいとか言えないからねw

詭弁ではそういう論法が使われるそうですが（笑

[232] mixiユーザー 05月29日 00:24

期待値または平均なので「平均12500円です。」と聞き「そうなんだ」と相槌をして終了とはいかないようですね？

(確率×金額)の和

[233] mixiユーザー 05月29日 05:40

[234] mixiユーザー 05月29日 06:45

情報の欠落した問題に対して、解けないが正解です

１９１は、情報が足りないがなんとか評価基準となる値が得られ、解けます
期待値は１２５００（事後確率期待値）

封筒の中身が異なっていると言うだけの場合は無限にさまざまなケースがありえます
そのなかに１９１というある限定的状況も含まれている
ただ、封筒の選択になんの判断基準もないときはどっち選んでも”差異はない”となり
それはそれで正しい判断には違いない
しかし、１９１は解けるが、情報が致命的に欠陥した問題は解けないのです

無限にある特殊ケースを含んだ全体と、個別の特殊ケースを見比べたときに起こる錯覚ですね

１９１のようにある情報を得たとき、ありえない多数の現象が除外される
そのとき２つの封筒のある評価値（事後確率期待値）が対等でなくなっていてもいいのです

取り除いたすべての状況を考慮すれば対等でないケースが相殺しあって均衡する
２つの封筒に”差異は無い”全体像が得られ、錯覚は解消するかと

[236] mixiユーザー 05月29日 14:44

呼び名が違うだけ、期待値を平均とも呼ぶようです。

仮にこれがゲームなら平均12500円でも、私は10000円を受け取りますね。

[237] mixiユーザー 05月29日 23:44

封筒を変えた場合の期待値を計算するには、ゲームの主催者が(5千円、1万円)の組と(1万円、2万円)の組をどのような割合で出しているのかの情報が必要になります。

(5千円、1万円)の組が出される確率を p とすると、期待値は

　5000 + 15000×(1-p) 円

となります。
期待値が 12500円になるのは p = 0.5 のときですが、p = 0.5 と仮定できる根拠はありません。

>>[229]
> 答えは、取り替えても取り替えなくても金額の期待値は同じ

これは間違いでした。
191の問題については、情報が足りないので期待値からは判断できない、が正しいです。

ゲーム理論等を適用すべき問題なのでしょう。

[238] mixiユーザー 05月30日 02:19

＞ゲームの主催者が(5千円、1万円)の組と(1万円、2万円)の組をどのような割合で出しているのかの情報が必要になります

それを問題にするなら。恣意的な偏りが行われたことを問題に書かねば
問題として成立しない

何も言わないなら、完全ランダムで、１対１に収束するとして解くものだよ
偏りがある場合は書いとけ

[239] mixiユーザー 05月30日 07:58

例えば、２０００１円とか

半分にする50銭がないわけですよ
つまり、この中身の情報を知ってしまえば、もう一方が倍でしかありえないよねw

そんなことを議論する場合は、そういう設定をわかるように書いて、そういう特殊な個別事情でさらに、計算の結果がかわるだけ

いいですか
ランダムに、対等な現象が無限に繰りかえされる場合それは等確率です
ランダムについて、そうでない、偏りがあるとしたらランダムではないのです

無限に繰り返さないと収束しないのですが
有意な収束までの試行回数の目安が分布の偏差などから察しはつく
それは実用的な経験則としてです
完全ランダムなものへの等確率は無限の試行を仮定した理想的極限のことですよ

[240] mixiユーザー 07月21日 17:39

ドアを変えて当たる場合

最初選んだドアがヤギ→モンティが残りの２つからヤギを選ぶ→残りのドアに変える(このドアが当たり)

つまり、最初にヤギa、ヤギbのどちらかを選べば良い。

最初にヤギa、ヤギbを選ぶ2通りが当たる場合
全部の場合は当たり、ヤギa、ヤギbの3通り

答えは2/3(変えた方が有利。変えない場合は1/3)

私なりに解説しましたが、もっと分かりやすい解説があれば、解説をお願いします。

[241] mixiユーザー 02月27日 10:04

>>[240]

モンティはどのドアにヤギがいて、どのドアに景品が納められているかを知っているわけですね。このため、第２段階のとき（モンティが残りの２つのドアのうちの一つを開けるとき）、景品が納められているドアが残っていれば、必ずそのドアを避けるようにドアを選択するわけですね。このモンティの行動の中に、景品が納められているドアはどれなのかの示唆が含まれているわけですね。

だから、プレーヤーは、選択するドアを替えた方が景品が当たる確率が高くなるわけですね。

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