数学コミュの自然数の逆数和

新たなトピを立てるまでもない発展性のない話題だったり、あるいは有名な問題だったりしたらすみません。

自然数の集合Aに対し

T(A) = "A の元すべてについての逆数の和"

と定義するとき、Aが無限集合であっても
T(A) = ∞ , T(A) < ∞
と、いずれの場合も考えられますよね。
たとえば
NN : 自然数全体の集合、とすると
T(NN) = ∞,
M = { 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, … } とすると
T(M) = π^2 /6.

またPを素数全体の集合とするとき
T(P) = ∞
いっぽうP'を双子素数全体の集合（無限集合かどうか知られていませんが）とするとき
T(P') < ∞
となることが知られています。

ではT(A) = ∞ となる（自然数の）無限集合A を、別な言葉でうまく特徴づけられないだろうか、などと考えるのですが、いかがでしょうか。

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 07月08日 14:43

難しい問題ですね

ﾃﾞｨﾘｸﾚの定理

Nで割ってa余る素数(ただし(a.N)=1)の逆数和は発散する

からみると収束するような自然数の集合は相当"希薄"でなければならないような気がします

さらに平方数の逆数和は収束することも考慮すると収束する条件としては

逆数和が収束するような自然数の集合の元を小さい順に並べたとき、隣あう2数の差はどんどん大きくなる

という条件が少なくとも必要なカンジがします
しかし具体的な発散収束の境界線をみつけることは非常に難しいんじゃないかな～

[2] mixiユーザー 07月08日 16:34

面白い問題ですね。
少なくとも、わたしは聞いたことがない問題ですが、
整数論では知られてるんでしょうかねえ？

自然数 n に対して、A_n := { A の元で、n 以下のもの}
とおくとき、

n/(#A_n) がどれぐらいのスピードで無限大に行くかが
問題になるんでしょうかねえ？
ただし、# は、元の個数を表します。

（n/(#A_n) が有限の値で抑えられてる時は、
　さすがに T(A) = ∞ でしょうね）

M = { 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, … }　ならば、
#M_n は、（大体） n^{1/2} だから、n/(#A_n) は、
（大体）n^{1/2}　ですね。このときは、T(M) < ∞

Pを素数全体の集合とするとき、#P_n は、（大体）n/(log n) だから、
n/(#A_n) は、（大体）log n ですね。このときは、T(P) = ∞

この辺にヒントがありそうな気がします。

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