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数学コミュの難問

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難問

mixiユーザー 2007年04月02日 10:53

次の問題を一緒に考えてくれませんか？
「三角形ABCの内部に点Pをとり、点Pから辺AB、BC、CAに下ろした垂線の足をそれぞれS、T、Uとする。このとき、２（PS+PT+PU)≦PA+PB+PCとなるか示せ。なるのならば証明し、ならないのならば、反例を示せ。」
以上です。
知り合いに聞かれた質問でした。
鈍角三角形の場合は、辺に垂線が引けときがあるけど、問題はどうなっていると聞いたら、多分、延長線上だと言っていました。
よろしくお願いします。

コメント(10)

[2] mixiユーザー 04月02日 18:21

それは有名な問題ですね。
エルデシュとモーデルの共同の結果で、その結論は上の不等式は常に成り立ち、等号はPが正三角形の重心のときに限り成立する、です。

[3] mixiユーザー 04月02日 21:23

＞カンダハルさん
この問題はエルデシュの問題だったんですか！それなら凡人の僕にはわからないはずです。
表現は簡単ですが中身は難しい問題ですね。
成立することがわかってよかったです。

[4] mixiユーザー 04月02日 23:43

証明はそんなに難しくないですよ…最初にうまい「座標」をとれば。どんな長さや角度をパラメーターに置くかで、示すべき不等式の難易がきまります。高校数学の知識で十分です

[5] mixiユーザー 04月03日 01:06

挑戦してみますね。

[6] mixiユーザー 04月03日 15:04

座標計算をせずに、幾何的に簡単に証明できないかな？？

[8] mixiユーザー 04月03日 19:04

「座標」とはもちろん、いわゆるxy座標のつもりではないです。

[9] mixiユーザー 04月03日 19:24

まんまと「いわゆるxy座標」を想定してました……
点A(0,0)点B(0,ab)点C(a,ac)ただしa>0,b>0くらいの感じで……

[10] mixiユーザー 04月04日 11:49

重心座標（正式な名称なのかな？加重重心ともいうらしい）で無事解けました。
ありがとうございます。

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