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今日ふと友達に質問されて答えられない問題がありました。
物体ｍ(球)が常に物体Ｍ(直角三角形の台で角はθ)の斜面上にある拘束条件って何？
ってものです。ちなみに摩擦はどこにも存在しません。ｘ軸を床の地面に平行に,Ｙ軸を垂直にとると書いてあります。
運動方程式を立てたところ
４つの方程式と５つの未知数が存在していて、コレを解くために上の拘束条件が必要だとか…
図は高校生のときによく見かけた基本的な図なので簡単♪っと思ったのに解けなかった自分が悔しいです。
友達の質問なんで自分には関係ない問題なんですが
納得しないとどーしてもすっきりしません↓
みなさんはコレわかります？
ちなみに立てた運動方程式
ｍx''＝Ｎsinθ
ｍy''＝ｍｇ-cosθ
ＭX''＝-Ｎsinθ
０＝Ｍｇ-Ｎ'+Ｎcosθ
物体ｍ(球)が常に物体Ｍ(直角三角形の台で角はθ)の斜面上にある拘束条件って何？
ってものです。ちなみに摩擦はどこにも存在しません。ｘ軸を床の地面に平行に,Ｙ軸を垂直にとると書いてあります。
運動方程式を立てたところ
４つの方程式と５つの未知数が存在していて、コレを解くために上の拘束条件が必要だとか…
図は高校生のときによく見かけた基本的な図なので簡単♪っと思ったのに解けなかった自分が悔しいです。
友達の質問なんで自分には関係ない問題なんですが
納得しないとどーしてもすっきりしません↓
みなさんはコレわかります？
ちなみに立てた運動方程式
ｍx''＝Ｎsinθ
ｍy''＝ｍｇ-cosθ
ＭX''＝-Ｎsinθ
０＝Ｍｇ-Ｎ'+Ｎcosθ
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コメント(31)
まず、斜面を基準とした座標系を考えます。つまり、斜面進行方向をx_1,斜面に垂直上方向をy_1とします。また、床をx、床垂直方向をyとすると、座標変換より
y_1 = y cos (theta) + x sin (theta)
が得られます。
斜面から離れない条件は斜面を基準とした座標系においてy_1時間微分がゼロであることから
d y_1/dt = dy/dt cos theta + dx/dt sin theta = 0
が成り立ち、したがってその微分
d^2 y_1 dt^2 = d^2 y/dt^2 cos theta + d^2 x/dt^2 sin theta =0
が成り立ちます。
これが拘束条件で、あとは運動方程式
m d^2 x /dt^2 = N sin theta
m d^2 y /dt^2 = N cos theta - mg
M d^2 X /dt^2 = - N sin theta
0 = N' -Mg-N cos theta
を解けばいいです。
その結果、
d^2 x/dt^2 = g cos theta sin theta
d^2 y/dt^2 = -g sin^2 theta
d^2 X/dt^2 = -mg cos theta sin theta/M
d^2 Y/dt^2 = 0
が得られます。
これは運動量保存則を満たしていますし、玉が左にころがれば坂は右へ移動するという直感的イメージにも一致します。また、M>>mのときは、斜面を基準とした座標系
x_1 = -y sin theta + x cos theta
に代入すると
x_1 = mg sin theta
となって通常の坂すべり問題に帰着しますので、問題ないと思われます。
どうでしょうか？
y_1 = y cos (theta) + x sin (theta)
が得られます。
斜面から離れない条件は斜面を基準とした座標系においてy_1時間微分がゼロであることから
d y_1/dt = dy/dt cos theta + dx/dt sin theta = 0
が成り立ち、したがってその微分
d^2 y_1 dt^2 = d^2 y/dt^2 cos theta + d^2 x/dt^2 sin theta =0
が成り立ちます。
これが拘束条件で、あとは運動方程式
m d^2 x /dt^2 = N sin theta
m d^2 y /dt^2 = N cos theta - mg
M d^2 X /dt^2 = - N sin theta
0 = N' -Mg-N cos theta
を解けばいいです。
その結果、
d^2 x/dt^2 = g cos theta sin theta
d^2 y/dt^2 = -g sin^2 theta
d^2 X/dt^2 = -mg cos theta sin theta/M
d^2 Y/dt^2 = 0
が得られます。
これは運動量保存則を満たしていますし、玉が左にころがれば坂は右へ移動するという直感的イメージにも一致します。また、M>>mのときは、斜面を基準とした座標系
x_1 = -y sin theta + x cos theta
に代入すると
x_1 = mg sin theta
となって通常の坂すべり問題に帰着しますので、問題ないと思われます。
どうでしょうか？
ηρさん、ありがとうございます。
tanθ = y'/(x'-X')
が理解できないって事ではないです。
書き方悪かったかな？
＞斜面方向の作用反作用
は摩擦がないので考えていないです。
物体Ｍに力が働くことにより移動する物体Ｍによって発生する抗力の斜面方向成分と
物体ｍに力が働くことにより移動する物体ｍによって発生する効力の斜面方向成分を
考えてそれが同じ大きさで向きが反対の場合（１）か
ゼロの場合（２）、という意味だったのです。
＞そうすると 0 = 0 となって新しい式は得られません．
物体ｍの移動量の２回微分と物体Ｍの移動量の２回微分が等しいという式じゃ駄目なのですか？（ｘ軸方向とｙ軸方向の成分に分解して記述しても良いですけど。）
＞今はなくても立式は可能だと思います．
斜面上にある＝許される斜面上を移動可能
という意味で書いたので、立式可能でも式が意味を持つかどうかで必要かなと思ったのですが、拘束条件と言った場合、確かにいらないかな？
tanθ = y'/(x'-X')
が理解できないって事ではないです。
書き方悪かったかな？
＞斜面方向の作用反作用
は摩擦がないので考えていないです。
物体Ｍに力が働くことにより移動する物体Ｍによって発生する抗力の斜面方向成分と
物体ｍに力が働くことにより移動する物体ｍによって発生する効力の斜面方向成分を
考えてそれが同じ大きさで向きが反対の場合（１）か
ゼロの場合（２）、という意味だったのです。
＞そうすると 0 = 0 となって新しい式は得られません．
物体ｍの移動量の２回微分と物体Ｍの移動量の２回微分が等しいという式じゃ駄目なのですか？（ｘ軸方向とｙ軸方向の成分に分解して記述しても良いですけど。）
＞今はなくても立式は可能だと思います．
斜面上にある＝許される斜面上を移動可能
という意味で書いたので、立式可能でも式が意味を持つかどうかで必要かなと思ったのですが、拘束条件と言った場合、確かにいらないかな？
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