ＡＢＦ数学教室コミュのマネジメントのための数学

mixiユーザー 2010年08月02日 04:34

http://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnx0b3lvY2xhc3Nlc3xneDoxM2I2MzExZDYxZjI2ZWM3

解説はコメントで。

コメント(17)

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[1] mixiユーザー 08月02日 04:35

ktkr

[2] mixiユーザー 08月02日 04:49

1.
A=(1 b)
　　(c 1)
としたとき、Aが逆行列を持つ条件を求め、その逆行列を求めよ。

・解説
A=(a b)
　　(c d)
の逆行列A^(-1)は（存在したとすると）
A^(-1)=1/(ad-bc)*(d -b)
　　　　　　　　　　　　(-c a)
（行列(d -b)の各項を1/(ad-bc)倍したもの）
　　　　(-c a)
となる。ad-bc≠0のときはAの逆行列が存在するが、ad-bc=0のときは存在しない（1/0=∞倍になってしまう）。
この問題ではa=d=1なので、逆行列を持つのは1-bc≠0、すなわちbc≠1のときである。
また逆行列は上の逆行列の式にa=d=1を代入して
A^(-1)=1/(1-bc)*(1 -b)
　　　　　　　　　　　　(-c 1)
となる。

[3] mixiユーザー 08月02日 05:13

3.
無限級数とはどんなもので、どんなことに注意する必要があるかを、例を用いて示せ。

・解説
無限数列（無限個の項の数列）{a_n}を考える。このとき
Σ{n=0～∞}a_n=a_0+a_1+a_2+…
を（無限）級数と言う。注意として、級数は有限の値に収束する場合もあれば発散する場合もある。例えばa_n=1/2^nの場合、
Σ{n=0～∞}a_n=1+(1/2)+(1/2^2)+…=1/{1-(1/2)}=2
となり級数は収束するが、a_n=1/nの場合
Σ{n=0～∞}a_n
=1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)+…
>1+(1/2)+{(1/4)+(1/4)}+{(1/8)+(1/8)+(1/8)+(1/8)}+…
>1+(1/2)+(1/2)+(1/2)+…
=∞
となり級数は発散する。

説明が難しい。。。こんな感じでいいですか？ｗ

[4] mixiユーザー 08月02日 05:16

問２って１０円であってんのかなぁ。。
てか利率０って…ｗ

[5] mixiユーザー 08月02日 05:20

逆行列は特定の位置の符号がマイナスになるって、
そういえば日吉のマックでやったな…思い出すなど…

３番とりあえずレジュメなども見ながら解答アレンジしたいと思う＞＜

[6] mixiユーザー 08月02日 05:21

4.
微分の定義
df(x)/dx=lim{Δx→0} (f(x+Δx)-f(x))/Δx
を用いて、x^2+xの微分が2x+1であることを示せ。

・解説
f(x)=x^2+xとすると
df(x)/dx
=lim{Δx→0} (f(x+Δx)-f(x))/Δx
=lim{Δx→0} {((x+Δx)^2+(x+Δx))-(x^2+x)}/Δx
=lim{Δx→0} (x^2+2xΔx+(Δx)^2+x+Δx-x^2-x)/Δx
=lim{Δx→0} (2xΔx+(Δx)^2+Δx)/Δx
=lim{Δx→0} Δx(2x+1+Δx)/Δx
=lim{Δx→0} (2x+1+Δx)
=2x+1　　　□

[7] mixiユーザー 08月02日 05:37

5.
次の定積分を計算せよ。
(a)∫{0→1} (e^x)dx
(b)∫{0→1} 2/√(1-x)dx

・解説
(a)
e^xの積分はe^x(+C)（Cは積分定数）なので
∫{0→1} (e^x)dx
={0→1}[e^x]
=e^1-e^0
=e-1

(b)
t=g(x)=1-xとおくとg'(x)=-1であり、x=0のときt=1、x=1のときt=0なので
∫{0→1} 2/√(1-x)dx
=∫{1→0} 2/√(t)dx
=(-1)*∫{1→0} 2/(√(t))*(-1)dx
=(-1)*∫{1→0} 2/(t^(1/2))dt　（√=1/2乗）
=(-1)*∫{1→0} 2*(t^(-1/2))dt
=∫{0→1} 2*(t^(-1/2))dt　（定積分の性質）
={0→1}[{2/((-1/2)+1)}*t^((-1/2)+1)]
={0→1}[4t^(1/2)]
={0→1}[4√t]
=4(1-0)
=4

[8] mixiユーザー 08月02日 05:44

6.
次の関数の増減を調べ、そのグラフを描け。
f(x)=x-log(1+x)

・解説
f(x)=x-log(1+x)より1+x>0、すなわちx>-1で定義される。
またu=1+x、y=log(1+x)=loguとおくと
f(x)=x-y
f'(x)
=1-dy/dx
=1-(dy/du)*(du/dx)
=1-(1/u)*1
=1-(1/u)
=1-{1/(1+x)}
={(1+x)-1}/(1+x)
=x/(1+x)
f'(x)=0となるのはx=0のとき。
後は増減表を書いてグラフを描けば良い（省略）。

[9] mixiユーザー 08月02日 05:47

eのＸ乗は微分してもeのＸ乗。
積分すると積分定数Ｃが出てくるけど、スルーでおｋ？

[10] mixiユーザー 08月02日 05:48

逆行列は「左上と右下を入れ替え、右上と左下の符号を逆にする」ですね。
この説明だと2×2行列でしか使えないんですが、それより大きい行列の逆行列を求めるなんてのは文系では出ないはずなので恐らく問題なしｗ

[11] mixiユーザー 08月02日 05:52

積分定数Cは「定積分においては」スルーでおｋです。
例えばこの問題でCを入れてみると
∫{0→1} (e^x)dx
={0→1}[(e^x)+C]
=((e^1)+C)-((e^0)+C)
=e-1
となって結果は変わりません。
あくまで定数なので、1の側でも0の側でもそのままCとして出て来て引き算で消えてしまうわけです。

[12] mixiユーザー 08月02日 06:06

問６はＸ＝０で傾きが０になるってことだから、
グラフを書くとするとＸ＝０を起点に増減が入れ替わると睨んでよいのかな。。

[13] mixiユーザー 08月02日 06:17

そうですね、-1<x<0ではf'(x)<0なので単調減少、x>0ではf'(x)>0なので単調増加になってます。
ちょうどx=0の所が谷底みたいな形になってるはず。

[14] mixiユーザー 08月02日 06:26

問２のオプションの２項モデルとかは分かりますかね…

[15] mixiユーザー 08月02日 13:28

数理ファイナンスの講義のレジュメ見たんですがさっぱり。。。
メモ書きが全くないのでちょうど寝てた時だと思います←

[16] mixiユーザー 08月02日 22:32

３，５が去年と同じ問題、２が微妙に数値だけかえてでてきたー

積分解けた時はえび君に頼んで良かったと涙出そうになったわ＞＜

[17] mixiユーザー 08月02日 22:41

ちなみにオプションの２項モデルによる、
コールオプションの現在価値Ｃの算出方法は、

ポートフォリオの複製モデルを使うと

Ｋ＝権利行使価格　Ｘ１＝上昇時の資産価格　Ｘ２＝同下降時
Ａ１＝上昇時の利得　Ａ２＝下降時の利得
ｒ＝無リスク資産の利率　
Ｂ＝無リスク資産の元本
とすると

Ｘ１?＋（１＋ｒ）Ｂ＝Ａ１
Ｘ２?＋（１＋ｒ）Ｂ＝Ａ２
を満たす連立方程式を解いて、?とＢを求めて、
Ｋ?＋Ｂ　で求まるらしい。

よって権利行使価格１００円、
一定期間後の資産価格が８０or１２０のコールオプションの現在価値は、
１２０?＋１Ｂ＝２０
８０?＋１Ｂ＝０（オプション放棄）
から
?＝０．５　Ｂ＝－４０が求まって、

１００×０．５－４０＝１０となってＣ＝１０

ブラックショールズ式はもっとエグいらしいけど、
今回は出てこなかったー
会計士試験の経営学の範囲に入ってるのかな…ＢＳ式。。

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