ＡＢＦ数学教室コミュのベイズの定理

対象となる物の集合を複数のグループに分けることを考える。
ただし「2つ以上のグループに含まれる物がない（どの物も1つのグループにしか含まれない、排反）」とする。
またグループ分けは2通り考え、1つの分け方をA_1,A_2,…,A_nとし、もう1つの分け方をB_1,B_2,…,B_mとする。（A_1～A_n,B_1～B_mは事象）
このとき「B_jという事象が起こったという条件の下でA_iが起こる確率（条件つき確率）」をP(A_i|B_j)で表すと
P(A_i|B_j)=P(A_i)*P(B_j|A_i)/{Σ[k=1～n](P(A_k)*P(B_j|A_k))}
が成り立つ。これがベイズの公式である。

○具体例
ある怠け者の先生は、常に授業を「通常通り行う」「遅刻して行う」「休講にする」のいずれかの可能性があり、その日の天候によってその割合が異なる。
具体的な確率は
晴れ：正常80％、遅刻10％、休講10％
曇り：正常70％、遅刻20％、休講10％
雨天：正常20％、遅刻30％、休講50％
である。またそれぞれの天候の確率は日によらず
晴れ50％、曇り30％、雨天20％
であるとする。このとき「休講だった日が晴れである割合」は？

（解答）
天候が晴れ、曇り、雨天であるという事象をそれぞれA_1,A_2,A_3とし、授業を通常通り行う、遅刻して行う、休講にするという事象をそれぞれB_1,B_2,B_3とする。このとき
P(A_1)=0.5 , P(A_2)=0.3 , P(A_3)=0.2
である。また、例えばP(B_1|A_1)は「晴れであるという条件の下で正常に授業を行う割合」を表すのでP(B_1|A_1)=0.8である。
題意より求めるべきなのはP(A_1|B_3)なので
P(A_1|B_3)=P(A_1)*P(B_3|A_1)/{Σ[k=1～3](P(A_k)*P(B_3|A_k))}
=0.5*0.1/(0.5*0.1+0.3*0.1+0.2*0.5)
=0.05/0.18
=5/18
となる。

○式の意味
P(A_i|B_j)は「B_jという事象が起こったという条件の下でA_iが起こる確率」、すなわち「事象B_jが起こったという状況の中で更にA_iも起こる確率」である。
なので
P(A_i|B_j)=P(A_i∩B_j)/P(B_j)　…(1)
となる（実際この式が条件つき確率の定義になっている）。また同様に
P(B_j|A_i)=P(A_i∩B_j)/P(A_i)
も成り立ち、これを変形すると
P(A_i∩B_j)=P(A_i)*P(B_j|A_i)　…(2)
となる。更に事象A_1,A_2,…,A_nは排反でいずれか1つが必ず起こるので
P(B_j)=(B_jが起こる確率)
=(A_1とB_jが同時に起こる確率)+…+(A_nとB_jが同時に起こる確率)
=P(A_1∩B_j)+…+P(A_n∩B_j)
=Σ[k=1～n]P(A_k∩B_j)
(2)を代入すると
P(B_j)=Σ[k=1～n]P(A_k)*P(B_j|A_k)　…(3)
以上より(1)に(2),(3)を代入するとベイズの公式が得られる。

コメント(2)

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[2] mixiユーザー 06月08日 19:51

ベイズの定理というものを知らない文系が解くとこうなりました。

晴れ、曇り、雨の確立をそれぞれ、P(A)、P(B)、P(C)とし、休講の確立をP(E)とする。
∴P(A)＝1/2,P(B)＝3/10,P(C)＝1/5である。
またP(E)＝1/10・1/2＋3/10・1/10＋1/2・1/10＝18/100である。
この時求める確立は、「休講だった日が晴れ」の確立である。
要は、事象Eの後に、そのうちAの起こる事象E∩Aの割合を求めれば良いので、
P(E∩A)/P(E)＝(1/10・1/2)/(18/100)＝5/18
となる。

こんな感じで合ってますでしょうか？ｗ
何かこんな問題を、国一の過去問でやったようなやってないような・・・。
千奈美に、20年前の早稲田の問題にベイズの定理を使う問題が出たみたいです。
ｹﾞﾝﾀﾞｲﾆｳﾏﾚﾃﾖｶｯﾀﾅｰ

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