数学の問題を出し合う場所コミュのかなり難しめの点(ｘ、ｙ)の存在領域

僕が作った問題の中ではおそらく一番難しいと思います

ｘ、ｙ、ｐ、ｑを正の実数とする。

一辺の長さがｘの正三角形ＡＢＣとその内部の点Ｐがあり、点Ｐと辺ＡＢ、点Ｐと辺ＢＣ、点Ｐと辺ＣＡの距離はそれぞれｐ、ｑ、１/ｑである。

△ＰＡＢを辺ＡＢのまわりに一回転して得られる立体の体積をＶ１、△ＰＢＣを辺ＢＣのまわりに一回転して得られる立体の体積をＶ２、△ＰＣＡを辺ＣＡのまわりに一回転して得られる立体の体積をＶ３とし、ｙ＝Ｖ１＋Ｖ２＋Ｖ３とする。

(１)点(ｘ、ｙ)の存在領域をｘｙ座標平面上に図示してください

(２)－２２πｘ/３＋ｙが最小値をとるとき、点Ｐは△ＡＢＣの内部のどのような点であるか説明してください

一時間以内にできたらすごいです

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 09月29日 15:41

携帯からなので図示は省略させて下さい><

(2)を解きます。

まず△ABCは1辺の長さがxの正三角形だから面積は(√3/4)x^2

また、
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA
と見て計算すると
=(x/2)(p+q+1/q)

よって
x=(2/√3)(p+q+1/q)

一方、条件より

V_1 = (πxp^2)/3
V_2 = (πxq^2)/3
V_3 = πx/(3q^2)

だから
y=(πx/3)(p^2 +q^2 +1/q^2)

よって
-22πx/3 +y
=(2π/3√3)(p +q +1/q)(p^2 +q^2 +1/q^2 -22)
≧(2π/3√3)(p +2)(p^2 -20)
(∵相加相乗平均の不等式。等号はq=1のとき)

ここで
f(p)=(p+2)(p^2 -20) (p>0)
とおくと
f'(p)=3p^2 +4p -20 =(3p+10)(p-2)
だからp=2で最小となる。

すなわち-22πx/3 +yは(p,q)=(2,1)のとき最小。

このとき
x=(2/√3)(2+1+1)=8/√3
で、辺ABの中点を点Mとおくと
CM=(8/√3)(√3/2)=4

p=2だから求める点Pは線分CMの中点である □

採点お願いしますm(__)m

[2] mixiユーザー 09月29日 16:46

> グミさん

解いて頂いてありがとうございます