数学の問題を出し合う場所コミュの整数問題です(改良版)

連投申し訳ありません
以前トピ立てさせていただいた整数問題の改良版です。

[問題]
pを3以上の素数とする。
2pa/(a^2 -1)
が整数となるような有理数a≠±1をすべて求めよ。

コメント(3)

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刀工してばかりだと、なまっちゃいますネ。
偉く荒いですが、見てやってくださいorz
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a=0のとき与えられた式は０となり　成立する。

m≠0,n≠0
a=n/m(nとmは整数で、互いに素でmｎ≠±１)とおく

2pa/(a^2 -1)=2pnm/(n^2-m^2)=2pnm/{(n-m)(n+m)｝

n,mは互いに素なので、分母はｎの倍数でもｍの倍数でもない。(荒いなw)
もとい
nmと(n-m)(n+m)は互いに素である。(これでよしっと)

よって与えられた式が整数となるとき、ｋを整数(ｋ≠０)として

ｋ(ｎ－ｍ)(ｎ＋ｍ)＝２ｐとおける

ここで(ｎ－ｍ)と(ｎ＋ｍ)はどちらも偶数orどちらも奇数であるので
うわの式より
どちらかは絶対値が１となりどちらかは絶対値ｐとならねばならない。

ｎ＋ｍ＝(１、１、－１、－１、ｐ、ｐ、－ｐ、－ｐ)
ｎ－ｍ＝(ｐ、－ｐ、ｐ、－ｐ、１、－１、１、－１)

よって

a=０、±(ｐ＋１)/(ｐ－１)、±(ｐ－１)/(ｐ＋１)

(ｐ＋１とｐ－１って素じゃないような・・・・)
なんだかあやふやですが、採点お願いします

[2] mixiユーザー 12月12日 20:10

> taka改めryanさん

正解です！解答も問題ないと思います

最後のp-1とp+1が互いに素じゃないような…ってところは、正確にはmとnの絶対値は(p-1)/2と(p+1)/2ですから、これらは差が1なので互いに素ということでokかと

ちなみに僕の用意してた解答を載せます↓

与式=k(kは整数)とおく
a=0は明らかに与式は整数になるから、以下a≠0(k≠0)とする

このとき
ka^2 -2pa -k=0　…(*)
条件よりaは有理数だから(*)の判別式Dは平方数でなければならない
よって、ある整数jに対して
D/4=p^2 +k^2 =j^2
とおける

この不定方程式を解く

p^2 =(j+k)(j-k)
でpは3以上の素数だから

(j+k,j-k)
=(-1,-p^2),(-p,-p),(-p^2,-1),(1,p^2),(p,p),(p^2,1)

k≠0から

(j,k)
=((-1-p^2)/2 ,(-1+p^2)/2 ),
((-1-p^2)/2 ,(1-p^2)/2 ),
((1+p^2)/2 ,(1-p^2)/2 ),
((1+p^2)/2 ,(-1+p^2)/2 ),

(*)より
a=(p±j)/k
だから

(1) k=(-1+p^2)/2のとき
a=(p+1)/(p-1), -(p-1)/(p+1)

(2) k=(1+p^2)/2のとき
a=-(p+1)/(p-1), (p-1)/(p+1)

以上より求める有理数a≠1は

0, ±(p+1)/(p-1), ±(p-1)/(p+1)

の5つ

逆にこれらの値で
2pa/(a^2 -1)
は確かに整数になる//

[3] mixiユーザー 12月13日 06:37

>グミさん

添削ありがとうございます