数学の問題を出し合う場所コミュの正の実数の最小値

久々に投稿しますん。

［問題］
正の実数a,b,cが ab＋bc＋ca＝1を満たしているとき、a＋b＋cのとりうる最小の値を求めよ。

コメント(8)

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結果は√３ですか？
あまり自信ないですが

>>[1] ありがとうございます。結果はあってます。どのようにして求めました？？

>>[002]
ａ、ｂ、ｃが正の実数より

相加平均≧相乗平均の関係から

ａ＋ｂ＋ｃ≧３(ａｂｃ)^1/3
で等号成立はａ＝ｂ＝ｃのとき

よってａ＋ｂ＋ｃが最小値をとるとき、ａ＝ｂ＝ｃである

ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝１が成り立っているので、ａ＝ｂ＝ｃのとき

３ａ^2＝１
で

ａ＝ｂ＝ｃ＝１／√３

よってこのとき
ａ＋ｂ＋ｃが最小になるから

その最小値は
１／√３＋１／√３＋１／√３＝√３

自信ないですこの解答

ａ＋ｂ＋ｃが最小になるのが相加相乗の等号成立だと言い切れるのかが曖昧な気がして

添削お願いしますm(_ _)m

[4] mixiユーザー 04月02日 00:50

>>[3] a+b+cが最小となる条件を求めるところまでは、付帯条件ab+bc+ca=1を使わずに求めていますが、付帯条件がこれではない場合は、一般にはa+b+cが最小となる条件はa=b=cとはなりません。a+b+cが最小となる条件がa=b=cとなるのは付帯条件に依存しています。
例えば付帯条件がab+bc+ca=1ではなく、a+b=1ならば、最小となる条件はc=0で最小値は1となります。

[5] mixiユーザー 04月02日 01:05

こんな感じでどうでしょうか。

(a + b + c)^2 の最小値を求めれば良いのであるが
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab +bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 + 2
なので、

a^2 + b^2 + c^2 の最小値を求めれば良いことになる。

0 ≦(a -b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 より
ab + bc + ca ≦a^2 + b^2 + c^2 なので、
a^2 + b^2 + c^2 の最小値は1である。
また、それが成立する時は、a = b = c であるから、
a = b = c = 1/sqrt(3) であることがわかる。

以上より、a + b + c の最小値は、sqrt(3) である。

[6] mixiユーザー 04月03日 01:27

>>[5] 正解です！0<=(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2は想定外かつ感動しました。(私はコーシー•シュワルツの不等式を使うやり方を用意してました)
この問題ははじめ、n個の場合で作りました。(n個の場合でも対称式なので等号成立はa_1=…=a_nのときですが。。)

n個の↓
a_i>0(i=1,2,…,n),n>1,Σ_[i<=i<j<=n] a_i *a_j =1 のとき、Σ_[1<=i<=n] a_i のとりうる最小の値を求めよ。

[7] mixiユーザー 04月03日 10:12

>>[004]
えっとc＞0だからc＝0で最小というのはありえないんじゃ……

[8] mixiユーザー 04月03日 10:47

>>[7] 確かにそうですね。失礼しました。ということは、この場合は最小値なしですね。

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