数学の問題を出し合う場所コミュの無理数の整数部分

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無理数の整数部分

mixiユーザー 2011年06月09日 01:33

ｍ、ｎを自然数とする。整数部分がｍであるような無理数√ｎを考える。

任意の自然数ｍについて、２ｍもしくは２ｍ＋２を約数にもつような、自然数ｎが存在することを証明してください

コメント(6)

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[1] mixiユーザー 06月09日 01:48

2m を約数にもつような、n が必ず存在しますよね。
（m が奇数の時は、2m + 2 を約数にもつようなものは存在しませんね。）

[2] mixiユーザー 06月09日 03:02

> まこりんさん

おっしゃることは正しいです

ただｍが偶数のとき２ｍ＋２を約数にもち、ｍが奇数のとき２ｍを約数にもつような特殊なｎが存在します。

それを見つけてくださいというのがこの問題です。

[3] mixiユーザー 06月09日 08:58

答え
n=m(m+1)

以下、これを示す。
まず、

m^2 < n (m+1)^2

より√nの整数部分はm

mが偶数ならある自然数kを用いてm=2kとかけるからn=2k(m+1)よりnは2(m+1)を約数にもつ。

また、mが奇数なら自然数k'を用いてm+1=2k'とかけるからn=2mk'よりnは2mを約数にもつ。//

n=m(m+2)だと整数部分がmですが、偶奇が分かれてくれないんですね

[4] mixiユーザー 06月09日 10:37

<3

訂正

(誤)
m^2 < n (m+1)^2

(正)
m^2 < n < (m+1)^2

不等号が抜けていました

[5] mixiユーザー 06月09日 14:57

> グミさん

素晴らしい、正解です

任意の自然数ｍを約数にもつ可能性があるｎはｍ(ｍ＋１)とｍ(ｍ＋２)に絞られます

で、ご承知のとおりｍ(ｍ＋２)はｍが偶数なら２ｍを約数にもちますが、ｍが奇数だとｍ＋２も奇数になり、ｍ(ｍ＋２)は奇数になってしまうため、２ｍも２ｍ＋２も約数にもちえないので不適ですね

一方ｍ(ｍ＋１)は連続２整数の積なので、必ず２を約数にもちますね。

[6] mixiユーザー 07月07日 14:40

>3の解答に関して

答えがn=m(m+1)しかないようにも受け取れる解答ですが、n=m(m+1)だけが題意を満たすものではないことを補足しておきます。
例えばn=24はn≠m(m+1)ですが題意を満たします。

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