What is the best? と聞く時には、「どれが一番良いか」それを知りたい時です。
お店で色々なPCを見ながら、店員に「で、どれが一番良いの?」と聞きたいような感じ。
What do you think is the best? と聞くときは「あなたの意見」を知りたい時です。
店員に参考意見として聞くような感じです。
そう考えると、"do you think" を「挿入した」というより、はじめから、What do you think と聞きたいと考える方が意識に沿うように思います。
Do you know what is the best?/ Do you know where he lives?
What do you think is the best?/ Where do you think he lives?
know と think の疑問文の作り方の違いをみると、think の方を「挿入」と説明したくなる気持ちはわかるのですが、
Do you know what is the best?/ Do you know where he lives?
は、本質的に
What is the best?/ Where does he lives?
と変らず、「何が一番良いか」「彼はどこに住んでいるか?」と聞きたいのであって、それをあなたが知っているかどうか聞いているにすぎません。
一方、What/Where do you think は、必ずしも「正しい答え」を求めているのではなくて、「あなたの意見」を聞いているように思います。
Who do you think you are? にしても、
You think you are SOMEONE. の someone が不明なので、whoを使って疑問文、
Who do you think you are? になります。
K-Youngさんも仰っているように、
Who are you? に do you think が挿入されるわけでは決してないです。