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コメント(14)
ベクトル空間の定義とかは、線型代数参照。
とりあえずは、定義ばっかりでごめんなしあ(・ω・`)
def.
複素（実でもよいけど、とりあえず都合上複素でやる）ベクトル空間X上の演算||・|| : X → R が以下の三条件を満たすとき、この演算をノルムとよび、そのノルムについてXはノルム空間をなすという。
(i) ||x||≧0, ||x||=0⇔x=0
(ii) ||ax|| = |a| ||x|| (forall x in C)
(iii) ||x+y|| ≦ ||x|| + ||y||
def.
ノルム空間X上の点列{x_n}について、
||x_n - a|| → 0 as n → ∞
であるとき、{x_n}はaに収束するといい、x_n → a as n → ∞とかく。
def.
ノルム空間X上の点列{x_n}について、
||x_n - x_m|| → 0 as n,m → ∞
であるとき、{x_n}をCauchy列という。
def.
ノルム空間XについてCauchy列が常にX上に収束するとき、Xは完備であるという。
完備なノルム空間のことを、バナッハ空間とよぶ。
例)
C^Nは通常のノルムについてバナッハ空間をなす。
[0,1]上の連続関数全体は||f|| = max|f|というノルムについてバナッハ空間をなす。
[0,1]上の連続関数全体は||f|| = ∫(0,1) |f(x)| dxというノルムについてノルム空間をなす。しかし、これはバナッハ空間ではない。
なぜなら、f_n(x)=max{1-1/n,0}なる関数はCauchy列であるが、この極限はf(x)=1(x=0) or 0(otherwise)となり、これは連続でない、つまりこの集合は完備でないからである。
とりあえずは、定義ばっかりでごめんなしあ(・ω・`)
def.
複素（実でもよいけど、とりあえず都合上複素でやる）ベクトル空間X上の演算||・|| : X → R が以下の三条件を満たすとき、この演算をノルムとよび、そのノルムについてXはノルム空間をなすという。
(i) ||x||≧0, ||x||=0⇔x=0
(ii) ||ax|| = |a| ||x|| (forall x in C)
(iii) ||x+y|| ≦ ||x|| + ||y||
def.
ノルム空間X上の点列{x_n}について、
||x_n - a|| → 0 as n → ∞
であるとき、{x_n}はaに収束するといい、x_n → a as n → ∞とかく。
def.
ノルム空間X上の点列{x_n}について、
||x_n - x_m|| → 0 as n,m → ∞
であるとき、{x_n}をCauchy列という。
def.
ノルム空間XについてCauchy列が常にX上に収束するとき、Xは完備であるという。
完備なノルム空間のことを、バナッハ空間とよぶ。
例)
C^Nは通常のノルムについてバナッハ空間をなす。
[0,1]上の連続関数全体は||f|| = max|f|というノルムについてバナッハ空間をなす。
[0,1]上の連続関数全体は||f|| = ∫(0,1) |f(x)| dxというノルムについてノルム空間をなす。しかし、これはバナッハ空間ではない。
なぜなら、f_n(x)=max{1-1/n,0}なる関数はCauchy列であるが、この極限はf(x)=1(x=0) or 0(otherwise)となり、これは連続でない、つまりこの集合は完備でないからである。
ようやく使える定理に突入
Th. 縮小写像の原理
バナッハ空間Xについて、写像F:X→Xがあり、
ある0<k<1をとると、
||F(x)-F(y)|| ≦ k||x-y|| (forall x,y in X)
をみたすとき、F(x)=xなるx in Xがただ一つ存在する。
証明は省略。結構簡単だとおもう。
Fredholmの積分方程式
φ(s)、K(s,t)は[a,b]上の連続関数、M = max K。
また、λ in Cを、|λ| < 1/{M(b-a)}とする。
このとき、x(s) - λ∫(a,b)K(s,t)x(t)dt = φ(s)を満たすx(s)をただ一つ存在することを示せ。
prf)
y(s) = λ∫(a,b)K(s,t)x(t)dt + φ(s)
なるyをxの写像とみなし、(つまり、写像の写像ですな)これを、
y(s) = [F(x)](s)とかく。
このとき、求めるxは、F(x)=xとなる。
すると、
||F(x_2)-F(x_1)|| = max|λ| ||∫K(s,t)(x_2-x_1)(t)dt ||
≦ |λ| M (b-a) ||x_2-x_1||
よって、仮定よりF(x)は縮小写像。
つまり、ただ一つのxが存在し、F(x)=x
よって示された。
Th. 縮小写像の原理
バナッハ空間Xについて、写像F:X→Xがあり、
ある0<k<1をとると、
||F(x)-F(y)|| ≦ k||x-y|| (forall x,y in X)
をみたすとき、F(x)=xなるx in Xがただ一つ存在する。
証明は省略。結構簡単だとおもう。
Fredholmの積分方程式
φ(s)、K(s,t)は[a,b]上の連続関数、M = max K。
また、λ in Cを、|λ| < 1/{M(b-a)}とする。
このとき、x(s) - λ∫(a,b)K(s,t)x(t)dt = φ(s)を満たすx(s)をただ一つ存在することを示せ。
prf)
y(s) = λ∫(a,b)K(s,t)x(t)dt + φ(s)
なるyをxの写像とみなし、(つまり、写像の写像ですな)これを、
y(s) = [F(x)](s)とかく。
このとき、求めるxは、F(x)=xとなる。
すると、
||F(x_2)-F(x_1)|| = max|λ| ||∫K(s,t)(x_2-x_1)(t)dt ||
≦ |λ| M (b-a) ||x_2-x_1||
よって、仮定よりF(x)は縮小写像。
つまり、ただ一つのxが存在し、F(x)=x
よって示された。
def. 線型作用素
ノルム空間X,Yについて、D(T)⊂Xとする。
写像T:D(T)→Yがx,y in D(T), a,b in Cについて
T(ax+by)=aTx+bTyをみたすとき、
Tを線型作用素という。
このとき、D(T)をTの定義域、R(T)=T(D(T))をTの値域という。
また、||Tx|| ≦ M||x|| (forall x in D(T)) なるMが存在するとき、
Tは有界であるという。
Prop.
線型作用素Tについて、
有界であるとき、またそのときに限って、Tは連続
要するに、バナッハ空間ってすっごく次元の高い空間なわけで。
たとえば、n番目の成分は倍率n倍で写すよ！ とかは困るってわけですな。
例：微分作用素d/dtは連続関数全体上の線型作用素。
定義域は微分可能な関数全体。
線型作用素Tについて、||T|| = sup{||Tx||/||x||}として、Tのノルムを定める。
すると、ノルム空間Xからノルム空間Yへの線型作用素全体の集合B(X,Y)はノルム空間になる。特に、Yがバナッハ空間のとき、B(X,Y)もバナッハ空間となる。
この辺までやると、いろんな積分方程式が解を一意に持つことがわかる。
Th.
F^nが縮小写像のとき、F(x)=xなるxは一意に存在する。
prf
F^nは縮小写像より、
F^n(x)=xなるxは一意……ほし
このとき、
F^n(F(x)) = F^{n+1}(x) = F(x)より、
F(x)=x（∵ほし）
よって、存在はわかった。
あとは、一意性だが、
F(x)=x、F(y)=yとすると、
F^n(x)=x,F^n(y)=y
ほしより、x=y
よって示された。
これで、線型微分方程式が初期値を与えれば唯一解が持つ準備は整ったのだが、かくのめんどいのでやってみてちょ。
とりあえず、区切りがいいので、このあたりでいったんおわり。
次からヒルベルト空間にはいる。
エルミート作用素とかユニタリ作用素くらいまでいきたかったんだけどなあ。
ノルム空間X,Yについて、D(T)⊂Xとする。
写像T:D(T)→Yがx,y in D(T), a,b in Cについて
T(ax+by)=aTx+bTyをみたすとき、
Tを線型作用素という。
このとき、D(T)をTの定義域、R(T)=T(D(T))をTの値域という。
また、||Tx|| ≦ M||x|| (forall x in D(T)) なるMが存在するとき、
Tは有界であるという。
Prop.
線型作用素Tについて、
有界であるとき、またそのときに限って、Tは連続
要するに、バナッハ空間ってすっごく次元の高い空間なわけで。
たとえば、n番目の成分は倍率n倍で写すよ！ とかは困るってわけですな。
例：微分作用素d/dtは連続関数全体上の線型作用素。
定義域は微分可能な関数全体。
線型作用素Tについて、||T|| = sup{||Tx||/||x||}として、Tのノルムを定める。
すると、ノルム空間Xからノルム空間Yへの線型作用素全体の集合B(X,Y)はノルム空間になる。特に、Yがバナッハ空間のとき、B(X,Y)もバナッハ空間となる。
この辺までやると、いろんな積分方程式が解を一意に持つことがわかる。
Th.
F^nが縮小写像のとき、F(x)=xなるxは一意に存在する。
prf
F^nは縮小写像より、
F^n(x)=xなるxは一意……ほし
このとき、
F^n(F(x)) = F^{n+1}(x) = F(x)より、
F(x)=x（∵ほし）
よって、存在はわかった。
あとは、一意性だが、
F(x)=x、F(y)=yとすると、
F^n(x)=x,F^n(y)=y
ほしより、x=y
よって示された。
これで、線型微分方程式が初期値を与えれば唯一解が持つ準備は整ったのだが、かくのめんどいのでやってみてちょ。
とりあえず、区切りがいいので、このあたりでいったんおわり。
次からヒルベルト空間にはいる。
エルミート作用素とかユニタリ作用素くらいまでいきたかったんだけどなあ。
> こたくす
そのとおり。
さあ、ヒルベルト空間はっじまっるよー！
def.
ある複素ベクトル空間Hが、任意のx,y in Hについて内積<x,y>が定まっており、
(i) <x,x> ≧ 0 and <x,x> = 0 ⇔ x=0
(ii) <x,y> = ￣(<y,x>) (共役のことだとおもって)
(iii) <ax,y> = a<x,y> (a in C)
(iv) <x+y,z> = <x,z> + <y,z>
をみたすとき、Hを内積空間とよぶ。
prop.
内積空間は||x|| = (<x,x>)^(1/2)によってノルム空間である。
prf)
(i),(ii)は明らか。
(iii)は
0 ≦ <ax+y,ax+y> = |a|^2 ||x||^2 + 2 Re(a<x,y>) + ||y||^2
a=t ￣(<x,y>)(t in R)とおくと、
t^2 |<x,y>|^2 ||x||^2 + 2 t |<x,y>|^2 + ||y||^2 ≧ 0 (forall t in R)
判別式をとってやって、
|<x,y>| ≦ ||x||・||y|| (Cauchy-Schwarzの不等式)
よって、
(||x|| + ||y||)^2 ≧ ||x+y||^2
より示された。
def.
ノルムについて完備な内積空間をヒルベルト空間という。
そのとおり。
さあ、ヒルベルト空間はっじまっるよー！
def.
ある複素ベクトル空間Hが、任意のx,y in Hについて内積<x,y>が定まっており、
(i) <x,x> ≧ 0 and <x,x> = 0 ⇔ x=0
(ii) <x,y> = ￣(<y,x>) (共役のことだとおもって)
(iii) <ax,y> = a<x,y> (a in C)
(iv) <x+y,z> = <x,z> + <y,z>
をみたすとき、Hを内積空間とよぶ。
prop.
内積空間は||x|| = (<x,x>)^(1/2)によってノルム空間である。
prf)
(i),(ii)は明らか。
(iii)は
0 ≦ <ax+y,ax+y> = |a|^2 ||x||^2 + 2 Re(a<x,y>) + ||y||^2
a=t ￣(<x,y>)(t in R)とおくと、
t^2 |<x,y>|^2 ||x||^2 + 2 t |<x,y>|^2 + ||y||^2 ≧ 0 (forall t in R)
判別式をとってやって、
|<x,y>| ≦ ||x||・||y|| (Cauchy-Schwarzの不等式)
よって、
(||x|| + ||y||)^2 ≧ ||x+y||^2
より示された。
def.
ノルムについて完備な内積空間をヒルベルト空間という。
無限次元複素ベクトル空間みたいのを考える。
a = (a_1, a_2 , ……) ?|a_i|^2:有限（つまりノルムが定まる）
であるようなベクトルの集合を(l^2)とかく。
あ、lはスモールエルです。
手書きのときは筆記体っぽくかいた方がいいのかな？
このとき、a = (a_1 , a_2 , ……) , b = (b_1 , b_2 , ……) in (l^2)に対し、
内積を<a,b> = ?(a_i ￣b_i)によって定める。これは有限である。∵Cauchy-Schwarz
すると(l^2)はヒルベルト空間になる。
――――――――――
連続関数全体がバナッハ空間になっていなかったのは昨日確認した。
ので、もっとすごいことします。
ルベーグ可測で、∫(a,b)|x(t)|^2 dt < ∞を満たす[a,b]上の関数xの集合をL^2(a,b)とかく。
このとき、<x,y> = ∫(a,b)x(t) ￣y(t) dt と定めると、L^2はヒルベルト空間になる。
ただし、このとき、零集合だけのずれは無視することとする。
要するに、<x,x>=0になるようなxは全部同じだとみなすということね。
def.
<x,y> = 0のとき、xとyは直交するといい、x⊥yでかく。
また、0でない{φ_i} ⊂ Hが、互いに直交しているとき、これを直交系という。
さらに各||φ_i|| = 1のとき、正規直交系という。
また、正規直交系がHの基底になっているとき、正規直交基底であるとか、完全であるという。
また、正規直交系{φ_i}に対し、
c_j = <x,φ_j> を xのφによるフーリエ係数とよび、
?(c_j φ_j)をxのフーリエ級数とよぶ。
例)
L^2(-π,π)において、
1/(2π)^(1/2) , cost/π^(1/2) , sint/π^(1/2) , cos2t/π^(1/2) , sin2t/π^(1/2) , ……
は正規直交完全系。
ｲｲﾌｰﾘｴﾀﾞﾅｰ(；∀；)
ベッセルの不等式とかパーセバルの等式とかは省略。
Th リースの定理
{φ_i}をヒルベルト空間Hの正規直交系、{ξ_i}を?|ξ_i|^2 < ∞なる任意の複素数列とすると、
y = ?ξ_i φ_iはH上で収束し、<y,φ_i> = ξ_i , ||y|| = ?|ξ_i|^2
証明はやさしいので略
以上のことより、
L^2はフーリエ級数に展開してやれば、係数がベクトルみたいになるので、
(l^2)とヒルベルト空間としての構造が同じであることがわかる。
つまり、L^2と(l^2)は同型である。
a = (a_1, a_2 , ……) ?|a_i|^2:有限（つまりノルムが定まる）
であるようなベクトルの集合を(l^2)とかく。
あ、lはスモールエルです。
手書きのときは筆記体っぽくかいた方がいいのかな？
このとき、a = (a_1 , a_2 , ……) , b = (b_1 , b_2 , ……) in (l^2)に対し、
内積を<a,b> = ?(a_i ￣b_i)によって定める。これは有限である。∵Cauchy-Schwarz
すると(l^2)はヒルベルト空間になる。
――――――――――
連続関数全体がバナッハ空間になっていなかったのは昨日確認した。
ので、もっとすごいことします。
ルベーグ可測で、∫(a,b)|x(t)|^2 dt < ∞を満たす[a,b]上の関数xの集合をL^2(a,b)とかく。
このとき、<x,y> = ∫(a,b)x(t) ￣y(t) dt と定めると、L^2はヒルベルト空間になる。
ただし、このとき、零集合だけのずれは無視することとする。
要するに、<x,x>=0になるようなxは全部同じだとみなすということね。
def.
<x,y> = 0のとき、xとyは直交するといい、x⊥yでかく。
また、0でない{φ_i} ⊂ Hが、互いに直交しているとき、これを直交系という。
さらに各||φ_i|| = 1のとき、正規直交系という。
また、正規直交系がHの基底になっているとき、正規直交基底であるとか、完全であるという。
また、正規直交系{φ_i}に対し、
c_j = <x,φ_j> を xのφによるフーリエ係数とよび、
?(c_j φ_j)をxのフーリエ級数とよぶ。
例)
L^2(-π,π)において、
1/(2π)^(1/2) , cost/π^(1/2) , sint/π^(1/2) , cos2t/π^(1/2) , sin2t/π^(1/2) , ……
は正規直交完全系。
ｲｲﾌｰﾘｴﾀﾞﾅｰ(；∀；)
ベッセルの不等式とかパーセバルの等式とかは省略。
Th リースの定理
{φ_i}をヒルベルト空間Hの正規直交系、{ξ_i}を?|ξ_i|^2 < ∞なる任意の複素数列とすると、
y = ?ξ_i φ_iはH上で収束し、<y,φ_i> = ξ_i , ||y|| = ?|ξ_i|^2
証明はやさしいので略
以上のことより、
L^2はフーリエ級数に展開してやれば、係数がベクトルみたいになるので、
(l^2)とヒルベルト空間としての構造が同じであることがわかる。
つまり、L^2と(l^2)は同型である。
def.
ヒルベルト空間Hの部分集合Mについて、
Mが線形集合であり、かつ閉集合であるとき、Mを部分空間という。
また、このとき、Mの任意の要素と直交するHの要素の集合をM^⊥とかき、直交補空間という。
直交補空間は部分空間である。
Th.
x not in Mのとき、
||x-y_0|| = inf||x-y|| (y in M)
なるy_0 in Mが一意に存在する。
要するに垂線がひけますということ。
例のごとく、証明はそんなに大変じゃないので略。
infをいじればおｋ。
Th. 直和分解の定理
ヒルベルト空間H上の任意のベクトルxは、部分空間M上のベクトルyおよび、M^⊥上のベクトルzをもちいて、
x=y+zと一意にあらわされる。
つまり、HはMとM^⊥の直和。
このとき、yをxのMへの正射影という。すると、
線型作用素Pを使って、y=Pxとかける。
このPを射影作用素、あるいは単に射影という。
ヒルベルト空間Hの部分集合Mについて、
Mが線形集合であり、かつ閉集合であるとき、Mを部分空間という。
また、このとき、Mの任意の要素と直交するHの要素の集合をM^⊥とかき、直交補空間という。
直交補空間は部分空間である。
Th.
x not in Mのとき、
||x-y_0|| = inf||x-y|| (y in M)
なるy_0 in Mが一意に存在する。
要するに垂線がひけますということ。
例のごとく、証明はそんなに大変じゃないので略。
infをいじればおｋ。
Th. 直和分解の定理
ヒルベルト空間H上の任意のベクトルxは、部分空間M上のベクトルyおよび、M^⊥上のベクトルzをもちいて、
x=y+zと一意にあらわされる。
つまり、HはMとM^⊥の直和。
このとき、yをxのMへの正射影という。すると、
線型作用素Pを使って、y=Pxとかける。
このPを射影作用素、あるいは単に射影という。
def.
ヒルベルト空間HからCへの線型作用素を線形汎関数という。
以下、単に線型汎関数といえば有界であるとする。
Th リースの表現定理
有界線型汎関数は内積しかない。
つまり、線型汎関数をfとすると、z in Hが一意に存在し、
f(x) = <x,z>
また、||f|| = ||z||
prf)
M = {y in H : f(y) = 0} はHの部分空間になる。
M=Hのときはz=0となり明らか。
M≠Hのときは、直和分解の定理より、M^⊥≠{0}
よって、φ in M^⊥とすると、
z = ￣(f(φ)) φ / ||φ||^2
とすると、これは条件を満たす。
なぜなら、x - f(x)/f(φ) φ in Mより、
<x - f(x)/f(φ) φ, z> = 0
よって、
<x,z> = f(x)/f(φ) <φ,z> = f(x)
一意性及び||f|| = ||z||は明らか。
よって示された。
def.
ヒルベルト空間H上の有界な線型作用素Tについて、
<Tx,y>は有界な線型汎関数。よって、リースの表現定理より、
任意のx in Hに対し、<Tx,y> = <x,y^*>なるy^*が一意に存在する。
これはyのみによって定まり、かつ線型なので、
ある線型作用素T^*を用いて、
y^* = T^* yとかける。このT^*を共役作用素という。
つまり、<Tx,y>=<x,T^* y>
有界作用素で、A^* = Aであるものをエルミート作用素、U^* U = U U^* = Iをみたすものをユニタリ作用素という。
ようやくエルミート、ユニタリまできた。
とりあえずこれで線型代数でのエルミートとかユニタリとかの動機付けまできたかな。
予習がこの辺までなので、次の投下は時間があくかもしれん。
ヒルベルト空間HからCへの線型作用素を線形汎関数という。
以下、単に線型汎関数といえば有界であるとする。
Th リースの表現定理
有界線型汎関数は内積しかない。
つまり、線型汎関数をfとすると、z in Hが一意に存在し、
f(x) = <x,z>
また、||f|| = ||z||
prf)
M = {y in H : f(y) = 0} はHの部分空間になる。
M=Hのときはz=0となり明らか。
M≠Hのときは、直和分解の定理より、M^⊥≠{0}
よって、φ in M^⊥とすると、
z = ￣(f(φ)) φ / ||φ||^2
とすると、これは条件を満たす。
なぜなら、x - f(x)/f(φ) φ in Mより、
<x - f(x)/f(φ) φ, z> = 0
よって、
<x,z> = f(x)/f(φ) <φ,z> = f(x)
一意性及び||f|| = ||z||は明らか。
よって示された。
def.
ヒルベルト空間H上の有界な線型作用素Tについて、
<Tx,y>は有界な線型汎関数。よって、リースの表現定理より、
任意のx in Hに対し、<Tx,y> = <x,y^*>なるy^*が一意に存在する。
これはyのみによって定まり、かつ線型なので、
ある線型作用素T^*を用いて、
y^* = T^* yとかける。このT^*を共役作用素という。
つまり、<Tx,y>=<x,T^* y>
有界作用素で、A^* = Aであるものをエルミート作用素、U^* U = U U^* = Iをみたすものをユニタリ作用素という。
ようやくエルミート、ユニタリまできた。
とりあえずこれで線型代数でのエルミートとかユニタリとかの動機付けまできたかな。
予習がこの辺までなので、次の投下は時間があくかもしれん。
インフル明けのぼくが投下を再開するよ！
ただし、ここから少し難易度があがる。
というか僕もイマイチわかってない部分がある。ごめんなさい。
超関数になるとまたわかりやすくなるので、それまでの辛抱。
まずは、固有値を拡張します。
def.
ヒルベルト空間H上の有界線型作用素Tについて、
(T-λI)が有界な逆作用素をもたないようなλ in Cの集合をTのスペクトルといい、σ(T)とかく。また、C-σ(T)をTのリゾルベント集合といい、ρ(T)であらわす。
特に、Tx=λx (λ in C)となるとき、λをTの固有値、xを固有値λに対する固有ベクトルという。当然固有値はスペクトルに属する。
(T-λI)が有界な逆作用素をもつとは、
(i) (T-λI)が単射
(ii) (T-λI)が全射
(iii) 逆作用素が有界
という３つの条件にわけられる。
さらに、(i)かつ(iii)の条件下では、
(ii) ならば値域R(T-λI)がH上稠密(つまり、H上の任意の元に収束するような点列が選べる)
であることが示せるので、この条件を(ii)'とする。
(i)が成り立たないとき、λは固有値であるが、スペクトルとしては、点スペクトルという。
(i)は成り立つが、(ii)'が成り立たないとき、剰余スペクトルという。
(i)も(ii)'も成り立つが、(iii)が成り立たないとき、連続スペクトルという。
ちなみに、(i),(ii)ならば(iii)も示せるが、これは閉グラフの定理とよばれるすごいえらい定理。
でも示すのに準備がいるので省略。
N(T) = {x in H : Tx = 0}とする
Th.
R(T)⊂N(T^*)^⊥で、しかもR(T)はN(T^*)^⊥で稠密。
つまり、R(T)の閉包￣R(T)を用いて、
Hは￣R(T)とN(T^*)の直和
prf.
y in R(T)とする。
すると、y = Txとでき、
任意のz in N(T^*)に対し、T^* z = 0より、(Nの定義！)
<y,z> = <Tx,z> = <x,T^* z> = <x,0> = 0
よって、y in N(T^*)^⊥
yは任意なので、R(T)⊂N(T^*)^⊥
さらに、R(T)が稠密でないとすると、
0 ≠ w in N(T^*)^⊥∩￣R(T)^⊥がとれて、
0 = <Tx,w> = <x,T^* w>
xは任意なので、T^* w = 0 すなわち、w in N(T^*)
w in N(T^*)^⊥より、w=0より矛盾。
よって、R(T)は稠密。
これをつかって、エルミート作用素のスペクトルが実数であることをしめす。
ただし、ここから少し難易度があがる。
というか僕もイマイチわかってない部分がある。ごめんなさい。
超関数になるとまたわかりやすくなるので、それまでの辛抱。
まずは、固有値を拡張します。
def.
ヒルベルト空間H上の有界線型作用素Tについて、
(T-λI)が有界な逆作用素をもたないようなλ in Cの集合をTのスペクトルといい、σ(T)とかく。また、C-σ(T)をTのリゾルベント集合といい、ρ(T)であらわす。
特に、Tx=λx (λ in C)となるとき、λをTの固有値、xを固有値λに対する固有ベクトルという。当然固有値はスペクトルに属する。
(T-λI)が有界な逆作用素をもつとは、
(i) (T-λI)が単射
(ii) (T-λI)が全射
(iii) 逆作用素が有界
という３つの条件にわけられる。
さらに、(i)かつ(iii)の条件下では、
(ii) ならば値域R(T-λI)がH上稠密(つまり、H上の任意の元に収束するような点列が選べる)
であることが示せるので、この条件を(ii)'とする。
(i)が成り立たないとき、λは固有値であるが、スペクトルとしては、点スペクトルという。
(i)は成り立つが、(ii)'が成り立たないとき、剰余スペクトルという。
(i)も(ii)'も成り立つが、(iii)が成り立たないとき、連続スペクトルという。
ちなみに、(i),(ii)ならば(iii)も示せるが、これは閉グラフの定理とよばれるすごいえらい定理。
でも示すのに準備がいるので省略。
N(T) = {x in H : Tx = 0}とする
Th.
R(T)⊂N(T^*)^⊥で、しかもR(T)はN(T^*)^⊥で稠密。
つまり、R(T)の閉包￣R(T)を用いて、
Hは￣R(T)とN(T^*)の直和
prf.
y in R(T)とする。
すると、y = Txとでき、
任意のz in N(T^*)に対し、T^* z = 0より、(Nの定義！)
<y,z> = <Tx,z> = <x,T^* z> = <x,0> = 0
よって、y in N(T^*)^⊥
yは任意なので、R(T)⊂N(T^*)^⊥
さらに、R(T)が稠密でないとすると、
0 ≠ w in N(T^*)^⊥∩￣R(T)^⊥がとれて、
0 = <Tx,w> = <x,T^* w>
xは任意なので、T^* w = 0 すなわち、w in N(T^*)
w in N(T^*)^⊥より、w=0より矛盾。
よって、R(T)は稠密。
これをつかって、エルミート作用素のスペクトルが実数であることをしめす。
かいたとたんに間違いを発見するんだから！
さらに(i)かつ(iii)の〜
のところの次の行
稠密ならば(ii)のまちがいです。
Th.
エルミート作用素Aのスペクトルはすべて実数
prf.
λ=a+bi、b≠0とする。
<Ax,x> = <x,Ax>=￣<Ax,x>より、<Ax,x> in Rに注意する。
||Ax-(a±bi)x|| ||x|| ≧ |<Ax-(a±bi)x,x>| = |<Ax-ax,x> -+ ib<x,x>| ≧ |b| ||x||^2
よって、||(A-λI)x|| ≧ |b| ||x||, ||(A-￣λI)x|| ≧ |b| ||x||
とくに、N(A-λI)={0}なので、A-λIは１対１
また、||(A-λI)^{-1}y|| ≦ (1/|b|)||y||より有界
さらに、N(A-￣λI)=N((A-λI)^*)={0}より、一個前の定理で、R(A-λI)は稠密。
よって、A-λIはスペクトルでない。
例 H=L^2(0,1)
Ax(t) = tx(t)なる作用素Aは、連続スペクトル[0,1]をもつ。
さらに(i)かつ(iii)の〜
のところの次の行
稠密ならば(ii)のまちがいです。
Th.
エルミート作用素Aのスペクトルはすべて実数
prf.
λ=a+bi、b≠0とする。
<Ax,x> = <x,Ax>=￣<Ax,x>より、<Ax,x> in Rに注意する。
||Ax-(a±bi)x|| ||x|| ≧ |<Ax-(a±bi)x,x>| = |<Ax-ax,x> -+ ib<x,x>| ≧ |b| ||x||^2
よって、||(A-λI)x|| ≧ |b| ||x||, ||(A-￣λI)x|| ≧ |b| ||x||
とくに、N(A-λI)={0}なので、A-λIは１対１
また、||(A-λI)^{-1}y|| ≦ (1/|b|)||y||より有界
さらに、N(A-￣λI)=N((A-λI)^*)={0}より、一個前の定理で、R(A-λI)は稠密。
よって、A-λIはスペクトルでない。
例 H=L^2(0,1)
Ax(t) = tx(t)なる作用素Aは、連続スペクトル[0,1]をもつ。
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