算数にチャレンジ！！コミュの[解答] 立体図形ー２♪

[解答]
さてさて、問題の立体は図１のようになります。

Ｂを通り高さが１ｍの点よりなる直線を考え、ＡＣとの交点をＤ、ＤからＡＨに下ろした足をＥとする。

また、ＩＥ上の点ＧをＡＧ＝４ｍとなるように取り、ＡＧの延長とＨＩの交点をＱとし、Ｇ、Ｑを垂直に伸ばした点と平面ＡＢＣとの交点をＦ、Ｐとする。（図２）

上から見ると、図３のようになります。

ＡＰが最大勾配となるとき、ＡＱとＩＥは直交するので、三角形ＡＩＧは３辺が３、４、５ｍの直角三角形となります！
（算数で使える３：４：５の直角三角形♪）

三角形ＥＩＡは三角形ＡＩＧと相似なので、ＡＥ＝ＡＩ×ＡＧ／ＩＧ＝５×４／３＝２０／３ｍとなります。
三角形ＡＣＨとＡＤＥは相似なので、
　ＣＨ＝ＤＥ×ＡＨ／ＡＥ＝１×１２／（２０／３）＝１．８ｍ。

よって、答：ＣＨ＝１．８ｍとなります。

正解者は、にっしー、なお、かっくんさんでした☆

コメント(8)

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[1] mixiユーザー 11月11日 01:36

実はこの問題、東大入試問題のアレンジなのよね。
そらむずかしいわ。うん。

東大の問題を少しアレンジするだけで、考え方は同じで、なんと算数で解けてしまう！というすばらしい問題なのです。

さーて、次も立体図形にすっかな～。
平面図形とどちらがいいですか？

[2] mixiユーザー 11月11日 08:35

> ＡＰが最大勾配となるとき、ＡＱとＩＥは直交するので、

この部分が算数なのかどうか、謎のままだ～(>_<)
これくらいはおっけーなんですかねぇ

[3] mixiユーザー 11月11日 17:04

>　ＡＰが最大勾配となるとき、ＡＱとＩＥは直交するので、
>
>　この部分が算数なのかどうか、謎のままだ～(>_<)
>　これくらいはおっけーなんですかねぇ

AQとIEが直行しなければ矛盾が生じてしまう。。。という説明をするしかないのではないでしょうか？

もし自分が小学生にこの問題を解説するとすれば、以下のような説明になると思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
最大勾配が1/4ということは、『高さ1mの地点まで水平方向に4m進めばよい』ってこと。

図２の緑の長方形において高さが1mになっている部分ははっきりしています。
ということは、底面の△AEIにおいて、Aから辺EIに至る経路が4mとなる部分を探せば勾配1/4が得られということです。

で、いったんこの話を置いといて。。。

Aから辺EIに至る最短経路はAから辺EIにおろした垂線であることは明らかです。
もし辺EI上に点G以外の点を取って、4mになってしまうと、AG＜4mとなり、最大勾配1/4に矛盾が生じます。

ということは。。。

Aから辺EIに下ろした垂線の長さが4mになるときがこの立体において最大勾配が1/4になる。
以下計算略。。。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

って感じでどうでしょう？

これなら小学生にも納得してもらえると思うのですが、説明不足かなぁ。。。

[4] mixiユーザー 11月11日 21:53

霧が晴れたかんじ。

補助線とかで世界が変わるのってすごいですね。

[5] mixiユーザー 11月11日 22:28

この図形を見ていると、おでんが食べたくなってきた。。。
こんにゃく、こんにゃく！

[6] mixiユーザー 11月12日 05:43

＞にっしー、かっくんさま、みなさま
>　ＡＰが最大勾配となるとき、ＡＱとＩＥは直交するので、
>
>　この部分が算数なのかどうか、謎のままだ～(>_<)
>　これくらいはおっけーなんですかねぇ

＜参照！＞
なおさんの解答ですが、勾配が1/4になるということで、頂点Aから半径4cmの円を描きます。
　で、高さ1cmで最大勾配というと、円の接線になるGの所になります。（分かりにくかったらごめんなさい。）
　これって、小学生にも理解できてとてもスマートですよね☆

かっくんさんの、EIへの最短距離という意味では同じですね。

＞ゆうすけ
補助線って素晴らしい！
霧が晴れるよね～！　だから図形問題の算数はおもろいんすよ。

＞かにえさま
鍋の季節ですね～。立体イメージ出来ました～？？

[7] mixiユーザー 11月12日 08:15

感覚的には分かると思うんですが。。。

「点から直線への距離」とか「接線」って中学の数学でやったような、って気がしちゃうんですよね。

小学生って授業でやらないことでも感覚的にだったり本から得た知識だったりで色々知ってることも多いので、大丈夫なのかな。

[8] mixiユーザー 11月12日 12:11

＞「点から直線への距離」とか「接線」って中学の数学で
＞やったような、って気がしちゃうんですよね。

おぅっ！　そういえば。。。
そうかも。う～ん。
でも、円の半径はどこも一定だから、そこに接してたら最小って当たり前じゃない？
って小学生は思う。（私もｗ）

小学生って、○と□を使って連立方程式を解いたりしちゃうから、よーわからん！！（逃走）

実際小学生に解答のように説明すると、感覚的に分かってくれます。

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