数学の質問＆宿題○投げ場コミュの教えていただけませんか？

正三角形形状のビリヤード台がある。頂点Ｏからボールを発射したところ、ボールは壁と1133回反射した後に止まった。ボールを打ち出したときの角度を図のようにx(0゜＜x＜60゜)として、次の問いに答えよ。
(注意)
・ボールはまっすぐに転がる。
・ボールが壁とぶつかると、(入射角)=(反射角)の法則で跳ね返る。
・ボールが止まるのは、ボールが頂点Ｏ，Ａ，Ｂのいずれかにきたときのみである。
ボールが止まった地点がＡとすると、xとして考えられる値はいくつあるか。

という問題です。図は下記の通りです。

コメント(29)

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[1] mixiユーザー 11月23日 09:25

例えば、1133回反射して止まる x の値は280通りであることが分かりました。

・1辺が2=1回ぶつかって2回目で止まる。・1辺が3=3回ぶつかって4回目で止まる。・1辺が4=5回ぶつかって6回目で止まる。・
・
・

これは、1，3，5，7，9・・・1133
の等差数列で表せるので、n=567
辺の数は、567+1=568
よって
568*(1-1/2)*(1-1/71)=280
となります。

よろしくお願い致します

[3] mixiユーザー 11月23日 10:54

図に描いてみると、頂点がＡの地点で止まるのは、
1辺が3のとき、1個
1辺が6のとき、2個
1辺が9のとき、3個
となりました。

この先、どのように考えたら良いでしょうか？お願い致します

[6] mixiユーザー 11月23日 12:12

> まっちゃんさん

ありがとうございます

はい

正確ですよ

[7] mixiユーザー 11月23日 12:28

間違っていました

1辺が3のとき、頂点Ａで止まるのは、1個。

1辺が6のとき→2-1個
1辺が9のとき→3個
1辺が12のとき→4-2個

1辺が15のとき→5個
1辺が18のとき→6-3個
・
・
・
1辺が568 のとき 189-94=95
よって、95通りとなると思うのですが、解答では、94通りとなっています

どこが間違っているのでしょうか？

お願いします

[10] mixiユーザー 11月23日 13:10

> まっちゃんさん

私の質問の仕方が悪かったようですね

どうもすいませんでした

ボールが止まった地点がＡとすると、x として考えられる値はいくつあるのでしょうか？

568÷3≒189
568÷6≒94
184-94=95
よって、95通りとなったのですが、どこが間違っているのでしょうか？

お願いします

[12] mixiユーザー 11月23日 15:50

> まっちゃんさん

遅くなりました

すいません

例えば、
1辺が3なら、(2，1)
1辺が4なら、(1，3)
1辺が5なら、(3，2)
1辺が6なら、(5，1) (2，4)
が頂点Ａで止まる組み合わせですよね？ここまでは合っていますでしょうか？
これらの組み合わせに、どのようなパターンがあるのでしょうか？
というのは、何故
(3，565)・・・
らが頂点Ａで止まるのかが分からないのです

どうもすみません

[14] mixiユーザー 11月23日 17:21

汚い図ですいません

y軸方向には、ＯＢＡＯＢＡ・・・
と続いていくのではないでしょうか？
どうもすみません。。。(〃_ _)σ∥

[16] mixiユーザー 11月23日 18:25

> まっちゃんさん

どうもすみません

まっちゃんさんの考え方で計算すると、
(1，567)はＢ
(2，566)はＯ
となる理由を教えて頂けませんでしょうか？
(1，567)について、567は3の倍数だから、Ｏにはならないのでしょうか？
大変申し訳ありません

(ρ.-)

[24] mixiユーザー 11月23日 20:06

> まっちゃんさん

何度も大変申し訳ありません

私の汚い図で、(0，568)を計算すると、
Ｏ→Ｂ→Ａ→Ｏ
568=3*189+1
となり、
頂点Ｂになってしまうのですが

[27] mixiユーザー 11月23日 21:53

> まっちゃんさん

ありがとうございます

私の図で解くとすれば、
(1，567) (4，564)・・・
で頂点Ａに到達するので、
(3n-2，570-3n)
1≦n≦190
570-3n=(3n-2)a
a=570-3n/3n-2

570=2*5*3*19

a=(2*5*3*19-3n)/(3n-2)
約分可能のとき、
n=2，3，5，19

まっちゃんさんと同じようなやり方で計算してみたのですが、ここまでは合っていますでしょうか？

この先、どのように計算すれば良いでしょうか？

お願いします

[29] mixiユーザー 11月23日 23:39

ありがとうございます

明日、ゆっくり考えさせて頂きます

ホントにありがとうございますo(^-^)o

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