数学の質問＆宿題○投げ場コミュの幾何学の問題です。

1辺の長さがａの正方形ＡＢＣＤがある。点Ｐが辺ＢＣ，ＣＤおよび対角線ＤＢ上を動く時、ＡＰまたはそのＰのほうへの延長上にＱをとり、ＡＰ×ＡＱ=ａ^2
であるようにするとき、次の問いに答えよ。
Ｐが△ＢＣＤの周上を1周するとき、Ｑはどんな曲線上を動くか。
図は下記の通りです。

コメント(14)

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[1] mixiユーザー 05月04日 18:25

このような問題です。どうかよろしくお願い致します。

[2] mixiユーザー 05月04日 18:44

何故、点Ｑはこのような曲線上を動くのでしょうか？御迷惑お掛け致します。

[3] mixiユーザー 05月04日 22:58

あまりきれいではないですが｡｡｡
対称性より対角線ＡＣについてＢ側のみ考えれば十分。
ここで正方形の中心を点Ｏとする。
(?)点ＰがＢＣ上にある時
∠ＢＡＰをθとおく。(0≦θ≦π/4)
ＡＰcosθ＝ＡＢ＝ａ
∴ＡＰ＝ａ/cosθ
∴ＡＱ＝ａcosθ
ゆえにＱはＡＢを直径とする円の周上に存在する。ここでθの範囲に注意して図示。
(?)点ＰがＯＢ上にある時
∠ＯＡＰをφとおく。(0≦φ≦π/4)
ＡＰcosφ＝ＯＡ＝ａ/√2
∴ＡＱ＝√(2)ａcosφ
ゆえにＱはＡＣを直径とする円の周上に存在する。ここでφの範囲に注意して図示。

[5] mixiユーザー 05月05日 01:21

> タイビィさん
ありがとうございます。
ＡＱ=ａｃｏｓθの数式の意味を教えて頂けないでしょうか？よろしくお願いします。

[6] mixiユーザー 05月05日 02:05

(1)ＰがＢＤ上にある場合（左図）
ＡＰ×ＡＱ=ａ^2を変形して、ＡＰ：ａ＝ａ：ＡＱより
ＡＰ：ＡＤ＝ＡＤ：ＡＱ、また∠ＰＡＤ＝∠ＤＡＱから、
△ＡＤＱ∽△ＡＰＤとなるので、∠ＡＱＤ＝∠ＡＤＰ＝45度
つまりＱの位置と関係なしに∠ＡＱＤは一定。
このとき△ＡＱＤに外接する円（中心はＢＤの中点Ｏ）を考えると、
∠ＡＱＤは弧ＡＤに対する円周角になりこれが一定なので、
Ｑはこの円の円周上を（ＢからＤまで）動く。

(2)ＰがＣＤ上にある場合（右図）
(1)と同じようにして△ＡＤＱ∽△ＡＰＤとなるので、
∠ＡＱＤ＝∠ＡＤＰ＝90度　Ｑの位置と関係なしに∠ＡＱＤは一定。
このときＡＤを直径とする円（中心はＡＤの中点Ｏ）を考えると、
∠ＡＱＤは弧ＡＤに対する円周角になりこれが一定なので、
Ｑはこの円の円周上を動く。

(3)ＰがＢＣ上にある場合は(3)と同じ。

「辺のかけ算」は方べきの定理に持っていくか、相似の関係に直す（本質的には同じ）のがよくあるパターンです。
中学の「円周角の定理」「相似」あたりをご覧ください。

[9] mixiユーザー 05月05日 08:19

> じゅんじゅんさん
ありがとうございます。点ＰがＤからＣに動くときは、うまく描けたのですが、点Ｂから点Ｃに動くときはどのようにして描いたらよいのでしょうか？御迷惑お掛け致します。下記に図を添付します。

[10] mixiユーザー 05月05日 08:20

お願い致します。どうもすみません。。。(〃_ _)σ∥

[11] mixiユーザー 05月05日 09:11

ＡＢを直径とする円を描かないといけないのでしょうか？何故、このままの図ではいけないのでしょうか？お願い致します。

[12] mixiユーザー 05月05日 11:51

> シマ猫さん
ＡＰ×ＡＱ＝ａ^2
で、
ＡＰ＝ａ/cosθ
なので、
ＡＱ＝(a^2)/(ａ/cosθ)＝ａcosθ
です。

また、ａcosθをＡＢcosθとみれば、どんなθに対しても∠ＡＱＢ＝π/2となる、つまりＱはＡＢを直径とする円の周上に存在するということです。この考え方は数学Ｃの極座標ででてくるのですが、知らないと思いつきにくいかもしれません｡｡｡

[13] mixiユーザー 05月05日 13:15

>10,11 シマ猫さん

ＰがＢＣ上にあるとき、この図ではＡＰ×ＡＱ=ａ^2になりません。
問題の条件を満たすかどうかをお考えください。

[14] mixiユーザー 05月05日 13:50

> じゅんじゅんさん
わかりました(*^_^*)どうもすいませんでしたL(・o・)」

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