数学の質問＆宿題○投げ場コミュの２次不等式

x^2-(k+3)+3k<0の問題でxが存在しないようにするためのkの値の範囲を聞く問題です。

３＜k
３＝k
３＞k
で場合分けすることはわかるのですが、その先が進めません。
よろしくお願いいたします。

コメント(10)

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まずは、(k+3)ではなく、(k+3)xですよね。
を前提として、

二次不等式が解なしになるということは、
二次関数のグラフ（頂点）がx軸と交わらないということなので、
その二次方程式が実数解を持たないということになるため、
Ｄ=√(b^2-4ac)<0
すなわち、
(k+3)^2-12k<0
-3-2√3<k<-3+2√3
で、いいのではないでしょうか？

逆質問しますが、場合分けをするというのは、どういう意味でしょう？

[2] mixiユーザー 04月02日 19:59

横槍ですが、D < 0 ではなくて、D ≦ 0 ですね。

[3] mixiユーザー 04月02日 20:22

そうですね。
ご指摘通り、「xが存在しない」なので、Ｄ≦0ですね。
ちょっと訂正。

Ｄ=√(b^2-4ac)≦0
すなわち、
(k+3)^2-12k≦0
-3-2√3≦k≦-3+2√3

[4] mixiユーザー 04月02日 20:50

001、003　残念ながら計算が間違えています。

(k+3)^2-12k≦0
k^2+6k+9-12k≦0
k^2-6k+9≦0
(k-3)^2≦0
ということで答えは
k=3
です。

なぜ場合わけをするかというと、
問題の2次不等式は
x^2-(k+3)x+3k<0
(x-k)(x-3)<0
と因数分解できるため、
2次関数
y=x^2-(k+3)x+3k
のグラフとx軸の交点を
視覚的に考えるときに
kの値で様子が変わってくるからです。

[5] mixiユーザー 04月02日 20:55

>4
確かに計算ミスってました。
フォローありがとうございます。

[6] mixiユーザー 04月03日 14:49

皆様ありがとうございます。
自分があわてて書いたため問題文を少し間違えていました。
「２次不等式x^2-(k+3)x+3k<0を満たす整数xが存在しないように、定数kの値の範囲を求めよ」
が正しい問題文でした。

解答は2以上k４以下になるらしいのですが、自分も４と同じk＝３になりました。
解説を読んでも理解できません。

みなさまに教えていただいたのに、申し訳ありませんが、訂正したのだとどのような結果に変わるんでしょうか？また同じでしょうか？
よろしくお願いいたします

[7] mixiユーザー 04月03日 14:58

＞やすさん
フトシMET＠BOさんがコメントで書いてくれていますが、
kの値がk=３ or k<3 or k>3 で解が変わるので場合分けするのだとおもいます。
自分もいまいちなので、説明不足ですいません。

[8] mixiユーザー 04月03日 15:25

横から失礼します。
整数xが存在しないという条件なので,整数でなければx^2-(k+3)x+3k<0となる場合があってもよいことになります。

フトシMET＠BOさんが書かれている通りですが･･･。

x^2-(k+3)x+3k<0
(x-k)(x-3)<0
2次関数 y=x-(k+3)x+3k のグラフとx軸の交点を考えて,
k<3 のとき
k<x<3
あてはまる整数xが存在しないのは,
2≦k<3　← k<2だとx=2があてはまってしまう。
k=3 のとき
(x-3)^2<0
となり,あてはまる整数xは存在しない。
3<k のとき
3<x<k
あてはまる整数xが存在しないのは,
3<k≦4　← 4<kだとx=4があてはまってしまう。
以上まとめて,
2≦k≦4

[9] mixiユーザー 04月03日 15:35

＞misoさん
なるほど～わかりました。
わかりやすく説明していただきありがとうございます。

[10] mixiユーザー 04月03日 16:56

問題が違っていたのですね。道理で変な答えになると思いました。解決できたようで何よりです。

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