数学の質問＆宿題○投げ場コミュの幾何学の問題です。

幾何学の問題です。
aは正の定数でf(t)は微分可能でf'(t)<0です。
曲線γ(t)＝（　sin exp(f(t))、　-2exp(f(t))、　-cos exp(f(t))　)
　(0≦t≦a)
について、
(1)　|γ'(t)|を求めよ。
(2)γ(t)を孤長パラメータsで表せ。

を教えてください。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 06月11日 16:25

(1) γ(t)=(x(t),y(t),z(t))とおくと,
x'(t)=cos[exp{f(t)}]exp{f(t)}f'(t),
y'(t)=-2exp{f(t)}f'(t),
z'(t)=sin[exp{f(t)}]exp{f(t)}f'(t).
∴γ'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))
=exp{f(t)}f'(t)(cos[exp{f(t)}],-2,sin[exp{f(t)}]).
∴|γ'(t)|=√5 exp{f(t)}|f'(t)|=-√5 exp{f(t)}f'(t).

(2) s(t)=∫_[0,t]|γ'(t)|dt
=-√5∫[0,t]exp{f(t)}f'(t)dt
=-√5∫[0,t]d[exp{f(t)}]
=√5[exp{f(0)}-exp{f(t)}].
∴exp{f(t)}=exp{f(0)}-s/√5.
面倒なのでe0=exp{f(0)}とおくと,
γ(t)=(sin(e0-s/√5),-2(e0-s/√5),-cos(e0-s/√5)),
但し 0≦s≦√5(e0-exp{f(a)}).

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