数学の質問＆宿題○投げ場コミュの教えて頂きたい問題があります。

先週はありがとうございました。また質問です。
図は円錐台に球が内接し、その球に正八面体PQRSTUが内接している。AD=6 BC=10とするとき
(１)球の半径を求めよ
(２)正八面体の体積を求めよ
よろしくお願いします。

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(1) 三角形OBCを含む面のみ考えてください。
球の半径はこの断面を平面図形と思って求めます。

線分ABと円との接点を Z とします。
点Aから線分BCへ下した垂線の足を H とします。

ここで円が内接していることから、AZ=AP= 3, HB=BU= 5 であることに注意しましょう。
三角形ABH に対して三平方の定理を用いて AH の長さを出してあげます。

　　(5+3)^2 = AH^2 + (5-3)^2

これを解いて、AH＝2√15 とでるので, 球の半径は r =√15 です。

次に(2) です。正八面体は２つの合同な四角錐があわさった立体と考えられます。
そのうちひとつの四角錐 P-QRST を考えましょう。

この四角錐の高さは球の半径と同じですから、√15 です。
また、底面積は正方形QRST を含む断面のみ考えてあげると
半径 √15 の円に内接する正方形であることがわかります。
従って、この正方形QRST の面積は√15 ×√15 /2 = 15/2 です。
まとめると、四角錐 P-QRST の高さは√15, 底面積は 15/2 です。
よって、この四角錐の体積は (√15) × (15/2) × (1/3) = 5√15/2 です。

正八面体はこの四角錐２つ分ですから、正八面体の体積は 5√15です。

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