☆頭の体操☆コミュの重なりの部分の面積は？

AB＝3､AC＝4､BC＝5の直角三角形があります
BC上でBから3の点Pを中心として△ABCを時計と反対周りに90ﾟ回転した三角形を△DEFとします
△ABCと△DEFの重なりの部分PQSRの面積はいくらになるでしょうか？
（出典：なぞなぞ/頭の体操(ネット)）

コメント(8)

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[1] mixiユーザー 02月06日 20:02

PC=2 (BP=3より)，　また、二角相当より△ABCと△RPCは相似。よってPR:PC:EC=3:4:5より

RC=2.5
RP=1.5

FP=PCより、FR=FP-PR＝2-1.5=0.5.
二角相当より△FRSと△FDEは相似。よって、

FS=0.3
SR=0.4

また、二角相当より△FQPと△FDEは相似。よって、

FQ=2.5
QP=1.5

このことからSQ=FQ-FS=2.5-0.3=2.2、AS＝AC-SR-RC＝4-0.4-2.5=1.1

以上より、
△ABC=AB・AC/2=6
△RPC=PR・PC/2 =1.5
台形SABQ = (SQ+AB)・AS/2 = (2.2 + 3)・1.1/2=2.86

よって、
△ABCー（△RPC＋台形SABQ）＝6-(1.5+2.86)= 1.64 ……（答）

[2] mixiユーザー 02月06日 20:03

一行目
×EC
○RC

です。すみません

[3] mixiユーザー 02月06日 20:23

あっ、FSとSRの数値逆だ！

[4] mixiユーザー 02月06日 20:31

（前略）

FS=0.4
SR=0.3

また、二角相当より△FQPと△FDEは相似。よって、

FQ=2.5
QP=1.5

このことからSQ=FQ-FS=2.5-0.4=2.1、AS＝AC-SR-RC＝4-0.3-2.5=1.2

以上より、
△ABC=AB・AC/2=6
△RPC=PR・PC/2 =1.5
台形SABQ = (SQ+AB)・AS/2 = (2.1 + 3)・1.2/2=2.46

よって、
△ABCー（△RPC＋台形SABQ）＝6-(1.5+2.46)= 2.04 ……（答）

[5] mixiユーザー 02月07日 09:01

ちみかなさん、正解です。

些細なところですが、
＞台形SABQ = (SQ+AB)・AS/2 = (2.1 + 3)・1.2/2=2.46
ここが計算ミスですね。
(2.1 + 3)を4.１として計算してしまっているみたいです。

[6] mixiユーザー 02月07日 12:59

あ、本当だ。5.1だ、すみません。

[7] mixiユーザー 02月08日 08:36

答え出ていますが、良い別解を思いついたので。

図のように、三角形ABCをさらに２回、９０度回転させ、計４つになるように描きます。PQSRの台形の形は、この４つの三角形にそれぞれ存在し、その４つを組み合わせた形は１辺が(SQ+SR)の正方形を作ります（図の黄色い部分）。（ここで、SQ, SRの長さを求めても良いのですが、それだと本解と苦労はあまり変わらないので、ここでは別のやり方で）

PからSQに垂線を引きSQとの交点をHとします。三角形HQPは三角形ABCとも三角形PRCとも相似（二角相等のため）。

PH:QP=4:5、PH=4QP/5= 1.2
なぜなら、QP=RP、RP:PC=3:4、PC=5-3=2、から、QP=RP=3PC/4=1.5。

求める面積PQRSは、図の黄色い正方形の面積の４分の１、つまり１辺がPHの正方形の面積(PH)^2=1.2^2=1.44に等しい。つまり、PQSRの面積は1.44