☆頭の体操☆コミュのインド式算数

インド式算数によると

１９×２１＝２０×２０－１×１＝３９９

５８×６２＝６０×６０－２×２＝３５９６

１７×２３＝２０×２０－３×３＝３９１

とやると速いみたいです。
さて、このようにできる理由を説明してください。
（出典：平成教育委員会）

コメント(8)

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[1] mixiユーザー 01月21日 00:17

説明しにくいですが、図形に見立てて、長方形を正方形に変換

[2] mixiユーザー 01月21日 00:44

公式「和と差の積は平方の差」↓の、直接の応用ですね。

（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）＝ａ~2－ｂ~2

証明
（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）
＝ａ~2－ａｂ＋ａｂ－ｂ~2
＝ａ~2－ｂ~2

[4] mixiユーザー 01月21日 20:02

FINKさん、正解です☆
十四夜さん、正解です☆

[5] mixiユーザー 01月21日 20:15

（追加問題）

５８×５２＝３０１６（←３０　１６）(30=5*(5+1),16=8*2)

３６×３４＝１２２４（←１２　２４）(12=3*(3+1),24=6*4)

８３×８７＝７２２１（←７２　２１）(72=8*(8+1),21=3*7)

４１×４９＝２００９（←２０　０９）(20=4*(4+1),09=1*9)

２４×２６＝６２４　（←６　２４）(6=2*(2+1),24=4*6)

１５×１５＝２２５　（←２　２５）(2=1*(1+1),25=5*5)

とできます。（ただし＊は×の意味。）
つまり、十の位が同じ数字で、一の位の和が１０になっているとき、
(十の位の数字)×(十の位の数字に１を加えた数)をまずもとめ、
次に、一の位同士を掛けた数をもとめ、
並べると答えが出ます。

この理由を説明してください。

[6] mixiユーザー 01月22日 06:00

数式で言えば、
ab*ac(数字をそのまま置き換えたとして)とすると、
(10a+b)(10a+c)=100a^2+10(b+c)a+bc
=100a^2+100a+bc(∵b+c=10)
=100(a+1)+bc
ここで、(a+1)*100はそのまま百の位千の位の数、b*cは十の位一の位の数となるため

[7] mixiユーザー 01月22日 19:26

FINKさん、正解です☆

（最後の行は、100a(a+1)+bcの打ち間違えですよね。）

[8] mixiユーザー 01月22日 19:38

追加問題ではないほうの別解です。

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