☆頭の体操☆コミュの台形ABCD

AD（BC）と平行な線分EFを引いて、この台形の面積を二等分するとしたら、EFは何cmになるでしょうか？
（出典：ネット（クイズ大陸））

コメント(5)

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EF^2が、７^2と17^2との平均になればよいから、
EF＝13cm

十四夜さん、正解です。

ところで、
>EF^2が、７^2と17^2との平均になればよい
という事実は、途中の考え方が、省略されていますよね…？
もしかして、簡単にこれが言える説明があれば、ぜひ教えていただきたいっす…。
(。'(エ)'。)ノ
簡単に言える方法を考えてみたのですが、思いつきませんでした…。ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!　

[3] mixiユーザー 07月19日 21:59

以下のように、確かめてみたところ、確かにそうなっていました。

「台形の上底＝a、下底＝b　とするとき、台形の面積を二等分する上底に平行な平行線の長さ＝(a^2+b^2)/2　であることを示せ。」

ということになりますが、
ABとDCの延長上の点をPとすると、
「相似な図形の辺の比の２乗は面積比に等しい。」
ことより、
△PAD：△PBC=a^2：b^2
これより、台形ABCDの面積は、(b^2-a^2)
これを二等分するので、台形AEFD＝(b^2-a^2)/2
よって
△PEF = △PAD＋台形AEFD = a^2 + (b^2-a^2)/2 = (a^2+b^2)/2
(終)

上記のように、複雑になりました。
う～ん・・・もっと簡単に説明する方法はあるのでしょうか…？(･ω･;A)ｱｾｱｾ…

[4] mixiユーザー 07月20日 02:01

> ABとDCの延長上の点をPとすると、
はい、そのように上部を補って考えました。書くべきでした。

>> EF^2が、７^2と17^2との平均になればよい
> 簡単にこれが言える説明があれば、ぜひ教えていただきたいっす…。

単純です。
２つの量(面積)の、差分の中間点は、平均だからです。

イメージ↓
　----+----+
　----+----+===　　　　←平均
　----+----+======

この問題の場合は、△PAD、△PEF、△PBCの面積を、Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3とすれば、
Ｓ3ーＳ2＝Ｓ2ーＳ1　　←差が等しい。
　　↓
Ｓ3＋Ｓ1＝２*Ｓ2
　　↓
(Ｓ3＋Ｓ1)÷２＝Ｓ2

[5] mixiユーザー 07月20日 12:36

なるほどです。どうもありがとうございました。(｡･ω･｡)ﾉ

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