統計家コミュの正規分布とは

すみません
くだらない質問なのですが、

「正規分布とはなんですか？」

確かに、これこれの確率密度関数の分布という説明はありますし、
ほとんどの教科書はそこがスタート地点になっていると思います。
しかし、この確率密度関数が正規分布の定義で、それがスタート地点というのはどうもしっくりきません。

たとえば、
二項分布であればベルヌーイ試行の分布。
ポアソンなら試行回数を無限に近似した二項分布。
といったそれなりに意味というか、定義というか、説明というか
そういうものがあると思うのですが、
正規分布はなんなんでしょうか？

まったく、くだらない質問と自分でも思うのですが、
どうか、よろしくおねがいします。

コメント(7)

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[1] mixiユーザー 10月03日 16:54

正規分布は神がかった分布です。

導出はエントロピー最大化でも良いですし、熱方程式の基本解と考えても良いと思っています。
性質もあまりにも良すぎて、神が創ったものとしか思えません。

[2] mixiユーザー 10月03日 17:17

正規分布とは？
一言で言えば「誤差」なのでしょう。
何も「傾向」がないときの分布。

正規分布が教科書等で重要視されるのは、
実際分析するときに一番使う頻度が高いからでしょうね。

なぜ使われるかというと、その根本は「中心極限定理」に繋がる気がします。

また、正規分布からサンプルされたデータを、足そうが引こうが、
少々手を加えても、正規分布になります。

なんだかんだいっても、「最も扱いやすい分布型」なのだと思います。
（分布関数が解析的に求められないのは頭が痛いですけどね）

[3] mixiユーザー 10月04日 08:40

みなさまありがとうございます。
何かの理由でできたというよりは、
数学的発見にちかいようなものなのですね。
なるほど、神がつくった分布ですね。
導出は、熱力学の教科書を漁って挑戦してみます。

ありがとうございました。

[4] mixiユーザー 10月04日 11:45

すいません、職場からの書き込みで、手元にしっかりした本は無いのですが・・・。

　正規分布は、ガウスの誤差の公理を満たす分布として導出された、と聞いております。

　まず誤差そのものについて、ガウスが天体観測の経験に基づいて、3つの誤差法則を導きました。即ち：

?絶対値の小さい誤差は、大きい誤差よりも起こりやすい。
?同じ大きさの誤差は、正負の両側に等しい確率で起こる。
?一定の大きさ以上の誤差は、事実上起こらない。

更に算術平均に関する要請を追加します：
?幾つかの観測値を得たとき、最も確からしい値は、その算術平均である。

この4つの公理を満たす分布として、正規分布が位置づけられていると記憶しております。特に最後のが、結構厳しい要請になるそうです。

　ルジャンドルとかラプラスは、もうちょっと別の理由付けをして、ガウス関数を正当化したとも聞きましたが、その内容までは記憶しておりません。

＃　実際の導出そのものについては、実はきちんと見たことがないのです。
＃　もしtai ki様が文献を発見されましたら、お教え頂ければ幸甚です。

[5] mixiユーザー 10月04日 12:13

物理（数学）では、

（1次元）ブラウン運動が、正規分布になる。

（1次元）酔歩（ランダム・ウオーク）を単位ステップ・単位時間で考えた時（実はベルヌーイ試行そのもの）、極限をうまくとって連続にしたら上記になる。

略記です。気が向いたら調べてみます（みて下さい）。

[6] mixiユーザー 10月04日 17:29

みなさま、ありがとうございます。
導出というほどのものではないですが、マックスウェル分布から、(ボルツマン係数)*(温度)/(質量)を分散とみなすと、たしかに、正規分布の確率密度関数になりますね。

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