心に広がる算数・数学の世界をコミュの三等分出来ない？

高校のベクトルの授業、存在領域の図示で

「ａベクトルの２／３をとって」といったら図の中のａベクトルを前にその点がとれない生徒がいた。

同僚と２／３という分数が実感としてはわかってないんじゃないかという話になったんだけど、そんなことってあるんだろうか？

分数の計算だって自由に出来るし、数学が得意ではないにしても、基礎レベルはそれなりにマスターできているのだから能力的に問題があるわけではないのだが・・・・

どなたかわかる方はいらっしゃいますか?

コメント(10)

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[2] mixiユーザー 11月27日 07:15

この子達、計算は出来るんです。
メネラウスの定理にしても三角比の図形にしても図を描かせることで試験するわけじゃないから、いい点数が取れるわけじゃないけど、２年に上がれないほどじゃない。
内分、外分の計算も何の問題もなく解けている。

が、図をかかせると出来ない。
それも２／３がとれない・・・

四月から付き合ってきて、今まで発覚しなかったのは目の前で図を描かせることがなかったから・・・

彼らが比を習ったときに何が問題で理解できなかったのか？
そこのところを埋めるにはどうしたらいいのか・・・

何かアイデアはありませんか？
(小学校の復習の形では彼のプライドが許さないだろうし・・・)

[4] mixiユーザー 11月27日 09:06

教師が実際に黒板の上で「３つに区切って、そのうちの２つと１つに分ける」という作業を、繰り返し見せるしかないと思います。

「作業をさせる」のがより効果的だと思われがちですが、大切なのは「頭の中に良いイメージを作る」ことなので、すらすらとやって「見せる」方が効果があったりもするくらいです。

[5] mixiユーザー 11月27日 10:09

　昨日、都立図書館に行って、大矢真一『数と量』（小学校算数科教材研究叢書２、1961年、新興出版社、啓林館）を読んできました。
　整数と分数、小数の概念をつかんでいく人類の歴史と、その教え方についての明治時代から当時までの議論が書いてある、本当に良い本ですが、借り出しできない都立図書館と国会図書館ぐらいにしかないのは残念です。大矢さんの本は、中公新書の『和算以前』にしろ、名著と言っていいと思いますが、手に入りにくいのが、本当に残念です。

　で、そこに、分数の教え方についての明治以来の議論があります。
　すでに数教協で、みなさまご承知のように、現在の小学校算数の分数の導入は、「量としての分数」としてです。
　しかし、江戸時代以来、日本語の日常会話では「米十二合の三分の二」とか、「布八寸の四分の一」という、「○○の何分のいくつ」という「操作としての分数」でした。これは、「操作」であって、「数」ではない、という議論も戦前にはあったようです。
　「操作としての分数」は「割合としての分数」でもあったと思うのですが、明治から戦前の教科書が、この割合分数から分数を導入していたことに対する批判として、現在の教科書では、量分数から分数を導入することは、私も、かつて実際に教えた経験からも賛成なのですが、今回のCosさんの生徒の例から見ると、最近の生徒は、分数を「量」としてのみ捉え、「操作としての分数」という概念が、逆に欠如してしてしまっているのではないかと思いました。
　大人にとっては「操作としての分数」の方が日常会話でも普通なのに、学校文化で分数の概念を形成してしまった最近の子どもは、最初に導入された「量としての分数」以外の分数についての概念（学校でも教えられているはずなのに）がうまく身に付いていないのでは、と考えたのですが・・・

[6] mixiユーザー 11月27日 10:26

　あ。はっぺぇさんの発言で、確認したら、私も、前に同じようなことを、同じように大矢さんの本を紹介しながら書いていた。う～む、われながら進歩がないというか、前に書いたことを忘れているというか、最近の子どもの分数に対する理解の不十分さの問題は、繰り返し話題になるというか・・・

[7] mixiユーザー 11月27日 19:14

＞はっべぇさん

内分外分がイメージできているかどうかは知るすべがありません。
実際問題として計算は出来るので、わざわざやらせる必然性を本人に納得させるのは難しいと思います。

本人に作図させない限り、わかってないことを確認できないけれど、計算が出来ている以上無理にやらせる余裕もありません。

言われればわかる(わかった振りが出来るのかも)ので、今職場では
「もしかしたら、３つに分けることが出来ないのかも」という話になっています。
だからこちらが「三つに分けたうちの二つ」を書いてみせるとそれはそれで理解できているのではないかと・・・

他の問題をやらせてみたら、

→（OP)＝２s→（OA)+t→（OB)、s+t=1

（→(OP)はベクトルOP　）

は作図できたので・・・

この点ではメタメタさんのおっしゃっているのとは反対ということになるのかな？

[9] mixiユーザー 11月28日 12:08

シロウト意見で。

＞→（OP)＝s→（OA)+t→（OB)、s+t=1
という系統の問題で作図はできるとのことですが･･･。

本当に2/3という分数がわかってないのなら
s+t=1におけるs,tそれぞれの値についてはどういう理解なのかが気になるところですね。

s=2/3，t=1/3の時のOPベクトルは示せるけど、
それぞれのs→（OA),t→（OB)はできないということに･･･。

単純に、「フリーハンドで３等分の作図が苦手」という話･･･ではないですよね？（汗
（５等分、７等分となってくると私もフリーハンドではかなり誤差が･･･）

はっぺぇさんも書いてらっしゃいますが、
＞「計算自体はできる」場合が多いから、ともすればわかってるものだと思いがちだけど、でもその計算結果の意味はわかってない、イメージが作られていない場合ってなにげに多い
というのは、その通りだと思います。
比関係に限らず、数学の全ての部門で言えることではないでしょうか。
難しくなってくると「暗記した公式をあてはめて数字を操作する」だけの作業になりがちです。
恥ずかしながら、三角関数あたりから私もそのクチです･･･。

関連として、参考までに。
以前、偶然見つけたサイトに
http://www.tohtech.ac.jp/~comms/nakagawa/taylorexp/taylor1.htm
というところがあるのですが（テイラー展開の解説をしています）、
そこにも
「とりあえず教科書に書いてある式を当てはめてみて、何かやってる振りはしているけれども､書いている本人が何をやってるのかわからない状態」
というような記述がありますね。

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