心に広がる算数・数学の世界をコミュの軽い質問、トピです。

皆さん、初めまして。

ここでは、基本的な質問のトピがあっても、良いんじゃないかな、と思い、作ってみました。

ちょっとした、疑問、ど忘れ(笑)、ありませんか？

コメント(285)

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[246] mixiユーザー 09月11日 14:32

個人的には、
３／ルート７
を
３ルート７／７
なんて書いてたら、それこそ「約分してないやん」って思いますけどねｗ

これが文字式にまで行って、
（ｘ＋ｙ）／ルート（ｙ＋ｚ）
とかを、
（ｘ＋ｙ）ルート（ｙ＋ｚ）／（ｙ＋ｚ）
なんて書いてたら、もはや有理化自体が目的になってしまっている感じすら受けますしね

[247] mixiユーザー 09月11日 15:45

古い記憶になるけど,
高校入試のときに「分母は有理化すること」という規則が書かれていたような気がします.

高校に入ってからは,どうでも良くなったと思いますが.

[250] mixiユーザー 09月12日 07:33

248タエさん

>>中学の数学までは、「有利化しなくてはいけない」というルールがあったように思うんです。
理由は私にはサッパリわかりませんが、

分母の無理数を消去することができるという能力を調べるため。
採点の手間を減らすため。

で、説明がつきます。

センター試験でも、既約分数にしろ、とかマイナス符号は、分子につけろ、
なんてルールがありました。
今はどうなっているか知りませんが。

[251] mixiユーザー 09月12日 11:03

分母の有理化をしていないと概数が求めにくいという話をします。
１／√２だと１／１．４１４を計算することになるが
√２／２ならば１．４１４／２ですむ。
大小比較などでは必要になります。

[254] mixiユーザー 11月11日 23:40

> タエさん

何が聞きたいのかがよくわからないのですが…

たとえば、

・それぞれの式が数学的に同じであるかどうか（ある式から式変形により別の形にできるならそれらは全て同じもの、という判断基準に合致するかどうか）

・それぞれの式はどういう場面で使われるのか（例えば、近似計算のときに使いやすい形と、対称性を活用するときに使いやすい形とは違うことがあるなど）

・それぞれの式で採点官に受けが良いかどうか（怪しい採点官からでも「○」を貰いやすいかどうか）

というものでは、答え方も変わってくるのではないかと…

[256] mixiユーザー 11月12日 15:47

> タエさん

まず、
（‐１）×（‐１）＝１
というのは良いでしょうか？

これをもとにすると、
（‐１）
＝（‐１）×１
＝（‐１）×｛（‐１）×（‐１）｝
＝（‐１）×（‐１）×（‐１）
とか、
（‐１）
＝（‐１）×１×１
＝（‐１）×｛（‐１）×（‐１）｝×｛（‐１）×（‐１）｝
＝（‐１）×（‐１）×（‐１）×（‐１）×（‐１）
なんてことも言えるわけです。

…いったんここまでで切ってみます

[258] mixiユーザー 11月12日 17:08

> タエさん

じゃあ次に、かけ算というものは、かける順番を変えても同じ答えになる、というのは良いでしょうか。

２×３＝６
というのも、
３×２＝６
というのも、どちらも結果は同じ「６」です。

１×２×３×４×５
も、
２×５×４×１×３
も、同じ答えです。

もっと言うと、
１×２×３×４×５
も、
（１×２）×（３×４×５）
も、
５×（４×３）×（２×１）
も、みんな同じ結果になります。

…あと少しですが、またここでいったん切ります

[259] mixiユーザー 11月12日 17:19

↑
２５８の補足です

カッコつきの計算では、カッコの中を先に計算する、という意味で書いています。

つまり、
１×２×３×４×５
だと、最初から順番にかけていき、
１×２×３×４×５
＝（１×２）×３×４×５
＝２×３×４×５
＝（２×３）×４×５
＝６×４×５
＝（６×４）×５
＝２４×５
＝１２０
となりますが、
（１×２）×（３×４×５）
の場合は、
（１×２）×（３×４×５）
＝（２）×（３×４×５）
＝（２）×｛（３×４）×５｝
＝（２）×｛１２×５｝
＝（２）×｛６０｝
＝１２０
という感じで計算する、ということ。

どっちにしても、最後の１２０という結果は同じ、ということがポイントです。

[261] mixiユーザー 11月12日 18:15

> ラビさん

自分は、内容的には中学生の数学の「移項」で最初に躓きましたよ～

小６のころに「□を求める計算」がわからなかったときに、親から移項を習ったものの、さっぱりでした

「『＝』をまたぐと逆になる」ってなんで？

？

みたいなｗ

中学になってから、「両辺に同じ操作をしてみる」っていうことを習ってようやく移項を理解しましたが。

連立方程式にしても、最初は特殊算の方が早いからって、わざわざ数学で解く意味を見出せないままでいて、３元連立一次方程式とか二次方程式あたりでようやく連立方程式を使うようになったり。

あ、あとは図形の証明

何を当たり前なことをネチネチやってるんだろう？とゆー感覚でしたｗ

証明するまでもないようなことをわざわざ証明する意味がわからない、という感じ。

ｙ＝ｆ（ｘ）では当然のように躓き、テストで２回連続３７点（１００点中ｗ）を取ってみたり、場合の数はいまだに不得手だし。

まぁ数学は一番得意だったわけじゃなくて、自分にとってはあくまでもサブ科目に過ぎなかった（化学とか社会とかよりはマシという程度）というのもあるかもしれませんが…

[263] mixiユーザー 11月12日 20:21

> タエさん

２５６、２５８、２５９のコメントの内容を合わせると…

例えば、「‐ＡＢＣ」で考えてみると、

‐ＡＢＣ
＝（‐１）×Ａ×Ｂ×Ｃ
＝｛（‐１）×Ａ｝×Ｂ×Ｃ
＝（‐Ａ）×Ｂ×Ｃ
とも変形できるし、
‐ＡＢＣ
＝（‐１）×Ａ×Ｂ×Ｃ
＝Ａ×（‐１）×Ｂ×Ｃ
＝Ａ×｛（‐１）×Ｂ｝×Ｃ
＝Ａ×（‐Ｂ）×Ｃ
とも変形できます。

もちろん、
‐ＡＢＣ
＝Ａ×Ｂ×（‐Ｃ）
とも変形できます。

ということは、

‐（ａ‐ｂ）（ｂ‐ｃ）（ｃ‐ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝（‐１）×（ａ‐ｂ）×（ｂ‐ｃ）×（ｃ‐ａ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
から、
＝｛（‐１）×（ａ‐ｂ）｝×（ｂ‐ｃ）×（ｃ‐ａ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝（ｂ‐ａ）×（ｂ‐ｃ）×（ｃ‐ａ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
と変形して、さらにかける順番を入れ替えると、
＝（ｂ‐ｃ）（ｃ‐ａ）（ｂ‐ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）
という、解答の２つめになります。

同じような感じで、
‐（ａ‐ｂ）（ｂ‐ｃ）（ｃ‐ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝（‐１）×（ａ‐ｂ）×（ｂ‐ｃ）×（ｃ‐ａ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
から、（‐１）をかける順番を入れ替えれば、
＝（ａ‐ｂ）×（ｂ‐ｃ）×｛（‐１）×（ｃ‐ａ）｝×（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝（ａ‐ｂ）×（ｂ‐ｃ）×（ａ‐ｃ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
と変形できて、これはタエさんが出した式になります。

つまり、タエさんの式も、模範解答の式も、２つめの解答の式も、数学的にはみんな同じ式だと言えます

長くなったので、もう１つのは次に…

[265] mixiユーザー 11月12日 21:17

２６３の続き…

後半については、２５６に書いたように、
（‐１）
＝（‐１）×１
＝（‐１）×｛（‐１）×（‐１）｝
＝（‐１）×（‐１）×（‐１）
と変形できることを使います。

‐（ａ‐ｂ）（ｂ‐ｃ）（ｃ‐ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝（‐１）×（ａ‐ｂ）×（ｂ‐ｃ）×（ｃ‐ａ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝（‐１）×（‐１）×（‐１）×（ａ‐ｂ）×（ｂ‐ｃ）×（ｃ‐ａ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）
から、（‐１）をかける順番を入れ替えて、
＝｛（‐１）×（ａ‐ｂ）｝×｛（‐１）×（ｂ‐ｃ）｝×（ｃ‐ａ）×｛（‐１）×（ａ＋ｂ＋ｃ）｝
とすれば、
＝（ｂ‐ａ）×（ｃ‐ｂ）×（ｃ‐ａ）×（‐ａ‐ｂ‐ｃ）
になるので、カッコの中の足し算引き算の順番を入れ替えて（かけ算わり算の順番を入れ替えても答えが変わらないのと同じように、足し算引き算の順番を入れ替えても答えは変わらない、ということを使います。）、
＝（‐ａ＋ｂ）（‐ｂ＋ｃ）（‐ａ＋ｃ）（‐ａ‐ｂ‐ｃ）
とも変形することができます

というわけで、模範解答の式も、解答の２つめの式も、タエさんが作った式も、最後の式も、みーんな数学的には同じ式だと言えます

[266] mixiユーザー 11月12日 23:04

後半、ちょっと先走りすぎたかもしれません

もう少し簡単なところからいくと。。

例えば「‐ＡＢＣ」を式変形するとき、

（‐１）
＝（‐１）×１
＝（‐１）×｛（‐１）×（‐１）｝
＝（‐１）×（‐１）×（‐１）

を使うと、

‐ＡＢＣ
＝（‐１）×Ａ×Ｂ×Ｃ
＝（‐１）×（‐１）×（‐１）×Ａ×Ｂ×Ｃ

と変形できます。

さらに、かけ算の順番を入れ替えると、

＝｛（‐１）×Ａ｝×｛（‐１）×Ｂ｝×｛（‐１）×Ｃ｝
＝（‐Ａ）×（‐Ｂ）×（‐Ｃ）
＝（‐Ａ）（‐Ｂ）（‐Ｃ）

という変形ができます。

で、タエさんが最後に出した式は、見た目は複雑に見えるけど、簡単に書けば、上の例に１つ文字を加えて、

‐ＡＢＣＤ
＝（‐Ａ）（‐Ｂ）Ｃ（‐Ｄ）

という式変形を施した形になっています

[269] mixiユーザー 11月12日 23:20

> タエさん

あ、間違えましたｗ

そうですね。

最後の式は、タエさんが言うところ（３つめのカッコの中）の符号が逆ですね

[270] mixiユーザー 11月12日 23:32

ん、わかりにくかったかも？

ええと、式変形していくと、３つめのカッコは
（‐ａ＋ｃ）
が正しくて、この形の式と他の式たちは数学的には同じ。

で、ここが（‐ｃ＋ａ）になってる式は、符号が逆なので、元の式をどう変形してもその式にはなりません。

なので、ここが（‐ｃ＋ａ）になってるのは間違いです。

[273] mixiユーザー 11月13日 09:22

> ラビさん

北大って、難関というよりは結構中途半端な難易度な気が…

むしろ中堅と言っていいくらいでは。

京大の先生がどういう教え方をしたのかわかりませんが、タエさんにわかりやすかったと言ってもらったり、色々躓いてきたりした自分は東大（理一→工学）だったりはします

まぁ、教員でもなければ塾講師でもありませんが

[275] mixiユーザー 11月13日 11:31

> ラビさん

いや、「難関の北大でも…」というよりも「中途半端な北大だったから…」の方が筋が通るんじゃないかなぁ、という話。

教える側が中途半端にしか理解していなければ、そりゃなかなか伝わらなくても当たり前ではないか、ということ。

北大が北海道の中では難関だというのは確かかも知れませんが、そのことと、一般的に北大が難関とみなされるのかどうかとは別問題。

そもそも北大が中堅に過ぎないのであれば、北大を例にして、難関大卒の人の説明は一般的にわかりにくいものだと言うのは、挙げる例に問題があるんじゃないかなぁと。

※
誤解がないように断っておきますが、別に北大を貶めるつもりはありません

ただ、「難関大」の例として挙げるにはちょっとどうなのかな、ということを書いただけです。

[277] mixiユーザー 11月13日 13:21

「変化の割合」と「傾き」って、そんな数式を使うからわからなくなるのでは…

「変化の割合」とか、別に「１あたりの量」にこだわる必要もないわけだし。

というか、まずは「比」の理解が先ではないでしょうか。

たとえば、イメージをつかむためなら、消費税でもいいです。
（厳密には端数処理される部分が違いますが。）

税抜き価格で１００円のものを買うと、消費税は５円かかります。

税抜き３００円なら、同じ割合で増やせば、消費税は１５円。

イメージとしては、この
「税抜き１００円あたり５円の消費税」
のようなものを「変化の割合」と呼んでいます。

「１あたりの量」で言うなら、ガソリンの単価もそうですね。

「リッター１５０円」というと、「ガソリンを１Ｌ買うと１５０円かかる」という意味。

２０Ｌのガソリンを買えば、１Ｌのときと同じ割合でお金がかかって、３０００円になります。

この「ガソリン１Ｌあたり１５０円」というのも「変化の割合」です。

[278] mixiユーザー 11月13日 14:08

「変化の割合」についてもう少し。

２７７の例は「比例」的なものだけですが、「変化の割合」というと、次のようなものも該当します。

たとえば、ネットや携帯の利用料金。

定額制だとちょっと違いますが、ここでは従量制で考えます。

従量制の場合、料金体系としては、

合計料金＝基本料金＋従量料金

という形になります。

で、この従量料金とは、

従量料金＝時間あたりの単価×使った時間

という形を取ります。

この「時間あたりの単価」も、「変化の割合」のひとつです。

これを１つの式にまとめると、

合計料金
＝基本料金＋従量料金
＝基本料金＋（時間あたりの単価×使った時間）

となりますが、これについて、

合計料金→ｙ
基本料金→ｂ
時間あたりの単価→ａ
使った時間→ｘ

と置き換えると、

ｙ＝ｂ＋ａｘ

足し算は順番を入れ替えても結果は同じだから、

ｙ＝ａｘ＋ｂ

と表現できます。

[280] mixiユーザー 01月03日 21:40

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