こどもの教育コミュの空間認識能力

[数学科　教師　講師]というコミュニティで、興味深い議論がされています。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=47090032&comm_id=788787&page=all

　A D
　 □
　 □□□□
　　　　 □

上の□の辺ADと重なる辺はどれか
という問題についての話です。

> 大体のお子さんはある程度空間認識力はあるので、ここのところは
> ここにつながっているとかそういった感覚は十分理解できているの
> ですが、中にどうしようもなく空間認識力の欠如した子がいて

　　という話になり、そこで僕が思ったのは、
　　　　色弱などと同様に空間認識力が弱いというこどもも
　　　　いて当然、そういうこども達のために、色の認識や
　　　　空間認識の能力を必要としない問題も用意しておき、
　　　　選択式にしてあげるという配慮があってもいいのか
　　　　も知れませんね
　　ということでした。

みなさんは、どのように思われますか?
　

コメント(46)

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[11] mixiユーザー 10月16日 20:39

Hiroさんの発想、

　　　　色弱などと同様に空間認識力が弱いというこどもも
　　　　いて当然、そういうこども達のために、色の認識や
　　　　空間認識の能力を必要としない問題も用意しておき、
　　　　選択式にしてあげるという配慮があってもいいのか
　　　　も知れませんね

面白いな～!!って思いました。

センター試験は、大学の意向に関わらず、
国全体で決められた問題が出される。

たまたま、その年、出題された分野が得意だった子は有利なわけで…
合計得点数だけで評価が決まるのであれば
数種類ある中から、選択して答えられるということも
有りなのでは???　って思いました。
それは、空間認識が絶対的に難しいお子さんに限らず…。

子どもたちが、苦手分野を克服するために
必死に試験勉強するよりも、
得意分野をどんどん伸ばしていける
そんな仕組みができたら、
新しい時代に力を発揮できる若者が
育っていけるのではないかと…。

[14] mixiユーザー 10月16日 22:22

> そもそもの元トピの流れは、空間認識が苦手でも、受験算数数学はなんとかできるっていう話しだったんですけど。
> (･∀･)；；

カエルさん、
ごめんなさい。

あちらの話が面白くて、それをこっちに持ってこようとしたとか、
元トピの流れとか、受験算数数学とか、そういうことではないつ
もりなんです。

あちらでの話がきっかけで、こんなことを考えて見たということ
なんですが、それは、こちら「こどもの教育」コミュニティでの
話題にふさわしいのではないかなと思った次第です。
　
つまり、
　　　　色弱などと同様に空間認識力が弱いというこどもも
　　　　いて当然、そういうこども達のために
どんなことを考えたらいいのかなぁ、という話のつもりで、この
トピックを立てたのでした。

もちろん、どのように話が発展しても、それはそれでいいと思っ
ているのですが、あっちでこうだったからという話にされてしま
われると、ちょっと悲しいです。
(^_^;)
　
　

[16] mixiユーザー 10月16日 23:31

まあ一応機械工学をかじったものとして。

立体は立体のまま考えた方がラクだしわかりやすい、という人は、少なくとも機械工学の分野には結構います。

もともと専門の選択動機が
「動いてるところが目に見える大きさのものを作りたい」
っていう人が多く、常日頃からそういう視点でものを見てるからかも知れませんが、
「いちいち平面に切ってたら、動きを見るのにかえって邪魔くさい」
「動くものを見るときには、下手に成分にわけないで、固定された部分（長さとか太さとかの形）に着目した方がやりやすい」
という感覚を持つ人がいます。

ＣＡＤなどの設計・製図ソフトでも、最近は立体のまま組み立てればそのまま設計できるように作られたものも出ています。

そういう意味では、「部品製作」ではなく「設計・製図」や「部品組み立て」の段階でなら、立体のまま考えるってこともよくあります。

「立体は難しい」という先入観が、立体を難しく見せてるって面もあるんじゃないかなって思ったりして

[17] mixiユーザー 10月16日 23:39

11 みんと　さんへ

＞センター試験は、大学の意向に関わらず、
国全体で決められた問題が出される。

とお書きになっていらっしゃいますが、みんとさんは、実際にセンター試験の問題を知っていての発言でしょうか？ということをお尋ねしたいと思います。

今年、娘がセンター試験を受験しました。
私立の大学の先生に、なぜセンター試験入試を私大が取り入れるのでしょう？と尋ねたところ、センター試験はとてもよくできていて、「まんべんなく」出題されるので、とてもすぐれているのです。
とおっしゃっていました。

私自身が受験をしているわけではないので、実際にその通りかどうかと問われれば、返事に困るのですが、センター試験の出題内容に偏りがあるという批判は聞いたことがないように感じます。

横になりますが、いかがでしょう？

[18] mixiユーザー 10月16日 23:56

> 「いちいち平面に切ってたら、動きを見るのにかえって邪魔くさい」
>「動くものを見るときには、下手に成分にわけないで、固定された部
> 分（長さとか太さとかの形）に着目した方がやりやすい」
> という感覚を持つ人がいます。

　　僕が模型飛行機を製作したり、飛ばしたり、調整したり
　　するときも、やっぱりそうですね。

　　設計図は平面の図で書いてあり、また翼型や上半角も平
　　面の図で書かれているではないかということを、どなた
　　かが言われていましたが、それは人に渡すには平面の紙
　　でしか渡せないからではないでしょうか?
　　そして、受け取った人は、そこから立体形状を思い浮か
　　べることができるから、ちゃんと組み立てられるのだと
　　僕は、自分の経験からも素直にそう思います。
　

[19] mixiユーザー 10月17日 00:12

なんかね、ここでの意見の対立が、「空間認識能力は特殊かどうか」というのではなくて、

「自分は持っている。だから、誰でも持てるはずだ。」

という意見と、

「自分は持っている。けれども、誰でも持てるとは言えない。」

という意見だけのような気がするのですよ。

「自分は持っていない。だから難しい。」という意見は、少なくとも今までのところ、出てきていないですよね。

これは、「自分自身が勉強ができたという人は、教えるのが下手だ」という、世間一般に信じられている「迷信」と、見事に一致すると思うのですよね。

「自分がどうか？」という意見は、この問題を「教育的見地」から論じる場合、むしろ邪魔になるとしか思えません。

[20] mixiユーザー 10月17日 00:48

「自分がどうか？」
それを分析すること、分析できるということは、大事なことだと思いますよ。

意見の対立ではなくて、意見の交換、そこから新しい発見があるのではないでしょうか?
　

それと、
「自分は持っていない。だから難しい。」という意見はなかったかも知れませんが、
　　自分は持っていない人を知っていて、難しいということを知っている
ということから、話をしているひとは沢山おられるように、僕は感じています。
　

[21] mixiユーザー 10月17日 01:39

自分が小学生のころや中学生のころどうだったのかというと・・・

空間認識能力があったかもしれないし、なかったかもしれません。
でも、問題は解けていたと思います。

正直、空間認識能力が今の自分にあるかと聞かれたらわかりません。

３でカワイさん、４でtubolaraさんが書かれているような
経験や受験の際の訓練によってどうにかごまかせているのかもしれません。

[22] mixiユーザー 10月17日 10:37

少なくともこのトピでは、
「自分は持っている。だから、誰でも持てるはずだ。」
っていう意見も出てないような。

元トピは最近見てないんでどうなってるかわかりませんが

このトピで出ているのは、
「周りを見ても空間認識力がある人は少ない」
「製作過程でも立体を平面にして製作する」
「製作するときには平面から立体を思い浮かべながら製作する」
「ある分野に限れば、立体のまま考える方がラクって人は結構いる」
「設計・製図・組立では立体のまま考えることも多い」
といったあたりかなと。

[24] mixiユーザー 10月17日 19:17

> カワイさん

自分としては、たとえばこの問題なら、ぱたぱたと面が折れて立方体になっていくところが映像として見える、という程度のイメージ力を差して「空間認識力」かなと思ってました。

この程度なら視点切り替えや回転なんかと大差ないレベルだろうという感じで。

で、その程度のイメージ力を持つ人なら、周りにいくらでもいたよなあっていう。

「ちょっと本気出さなきゃやられるかな」って思うのは、立体が形を変えながら動いていくときに通過する空間の形が見えるくらいのレベルで、これはたまに見かける。

「これはついていけないかも」っていうのは、形を変えながら動く複数の物体が、互いに溶け合ったりちぎれたりしながら変化していくだとか、そのときの接合部の形くらい考えなくても見えるとか、そのくらいのレベルで、ここまでの人はあんまり見ないかも。

そんな感じです。

[26] mixiユーザー 10月18日 06:32

正八面体の面を水平に置いたとき、上から見た図を描け
とか、

2本の煙突が交わったとき、
一方が他方によって切り取る切り口の作る図形

ドーナツをそれに垂直な面で内側の円に接するように切ったときの切り口の作る図形

立方体を対角線を軸に回転したときに出来る図形

長さ１の線分を片方の端がxy平面上に、線分上の１点が(0,0,1/2)を通るように
自由に動かしたときに線分の通る範囲

などはどうでしょうかね。

ドーナツ以外は大学入試の範囲内ですけど。

[27] mixiユーザー 10月18日 08:03

> 何を基準に空間認識力っていうのかが分かりません

空間認識力について、ちょっと検索してみました。
こんな論文(?)が出て来ました。
「オーストリアにおける空間認識力育成のための図学教材」
http://www.google.co.jp/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=2&ved=0CAoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fjsgs.c.u-tokyo.ac.jp%2Fjournal%2Fpdf%2F105%2Flow%2F%25E5%25A0%25A4%25E6%25B1%259F%25E7%25BE%258E%25E5%25AD%2590.pdf&ei=rTraSpuPKJHk6gP3ovWaBg&usg=AFQjCNEqAlfFOz0_sXO8D-9OOnCsuBLBUQ&sig2=yK9Bn67mLKtSibLJtYAPvA

「空間認識力をはぐくむ授業 The Lesson of the Solid Figure Which ...」
http://www.google.co.jp/url?sa=t&source=web&ct=html&cd=3&ved=undefined&url=http%3A%2F%2F74.125.153.132%2Fsearch%3Fq%3Dcache%3AiCrRtMLbP8AJ%3Adspace.lib.niigata-u.ac.jp%3A8080%2Fdspace%2Fbitstream%2F10191%2F6725%2F1%2F9(2)_37-44.pdf%2B%25E7%25A9%25BA%25E9%2596%2593%25E8%25AA%258D%25E8%25AD%2598%25E5%258A%259B%25E3%2580%2580%25E5%25BF%2583%25E7%2590%2586%25E5%25AD%25A6%26cd%3D3%26hl%3Dja%26ct%3Dclnk%26gl%3Djp%26lr%3Dlang_ja%26client%3Dfirefox&ei=rTraSpuPKJHk6gP3ovWaBg&usg=AFQjCNFKgCpCPihNIRzFiVFlpwx46owusw&sig2=URYmDidZPeP5Dkl-VCs_5A

御参考まで。
　

[28] mixiユーザー 10月18日 08:23

> りーさーさん

ぱっとわかるのは、正八面体、煙突、立方体、ですかね。

最後のは、ぱっと思ったのは名古屋駅前のとんがりコーンでしたが、ちょっと違いそうｗ

ドーナツは、すみません、この日本語が理解できませんでした

[29] mixiユーザー 10月18日 08:31

最後のは、円錐の上に、ちょっと太ったろうそくの火が乗っかってる感じ？

[30] mixiユーザー 10月18日 08:51

上記の「空間認識力をはぐくむ授業」の URL がちょっと
変になってしまいましたが、そのままクリックすると、
http://74.125.153.132/search?q=cache:iCrRtMLbP8AJ:dspace.lib.niigata-u.ac.jp:8080/dspace/bitstream/10191/6725/1/9
が開きます。

その中に、とても参考になることが書いてありましたので、
ここに引用しておきます。

「空間観念」として規定している新算数教育研
究会は,一般的には「『空間観念』とは, 目に見
える具体的な物,あるいは感覚的にとらえられる
物を通して,その背後にある空間としての抽象的・
理想的なものを感知することができる力」とし,
具体的には5つの観点からとらえている。
　? 直感的に図形を認める力
　? 立体を図で表現する力
　? 立体を構成する力
　? 位置をとらえる力
　? 立体の広がりを量的にとらえる力

一方,赤井氏は,小学校における空間観念の育
成の立場から空間観念を「空間における事物をイ
メージでき,広がりを意識し,空　間を自由に操作
できるもの」ととらえている。

また,狭間氏は「空間思考」という語を用い,
「現実的空間または抽象的空間に関わる課題遂行
場面で,いろいろな直感的支えをもとに,意識的
に空間的心象をつくり心的操作をする知的活動」
ととらえている。
　

[31] mixiユーザー 10月18日 09:01

> ドーナツは、すみません、この日本語が理解できませんでした涙

　　それを理解できることも「空間認識力」の１つですね。
　　(^_^)
　
　　ドーナツをそれに垂直な面で、切るんですから、これは
　　　ドーナツをまな板に乗せて、真上から包丁で切るイメージ
　　内側の円に接するように、切るんですから、これは
　　　そのドーナツを上から見た時に見える内側の円の端っこに
　　　包丁を当てて、上からストンと切るイメージ
　　ですね。そして、そうやって切ったときの
　　切り口の作る図形、を見るのですから、これは
　　　その時に切れたを持ち上げて、その切り口を、真正面から
　　　眺めた時の絵を描くこと
　　ですね。

　　内側の円に接している時の形は簡単で、それより少し外側で
　　切った時の形を、頭の中だけで想像するのは難しそうですね。
　　(^_^)
　

[32] mixiユーザー 10月18日 09:05

さっきの「空間認識力をはぐくむ授業」からの引用の続きです。

そして,國本氏は「空間直観力」という語を用
いて, 8つの観点から規定している。 8つの観点
とは,以下に掲げる力である。
　視覚化 (具象化)として,
　　「図形を認める力」,
　　「図形を構成する力」,
　　「操作を見通す力」,
　　「図形を見抜く力」
　とまとめている。
　また,空間的関係として,
　　「図形や空間の広がりをとらえる力」,
　　「図形を図で表現する力」
　とまとめている。
　そして,空間的方向づけとして　
　　「位置をとらえる力」,
　　「空間自由移動能力」
　とまとめている。
　

[33] mixiユーザー 10月18日 09:20

> Hiroさん

ドーナツについて。

まず「それに垂直で」ってのが、ドーナツの何に対して垂直なのかがわからず。

真上から切るなら「ドーナツの『水平面』に対して垂直」だし、「ドーナツの『回転軸』に対して垂直」なら真横から切るし。

「内側の円に接するように」というのも、真上から切ったときは丸い形だし、真横から切ったときは２つの同心円の間だし。

で、どちらにしても他の４つより異様に簡単な気がして、本当にこれを意味した日本語なのかな？とか。

[34] mixiユーザー 10月18日 09:32

さらに「空間認識力をはぐくむ授業」からの引用の続きです。

心理学の観点から考察すると,空間認識力は
「空間認知」という用語が多く用いられ, より広
く捉えられている。その中でも特に我々が注目し
たいのは,知能の中の特定の領域を占めていると
される「空間能力」である。
(中略)
1938年にサーストン (Thurstone,L.L)に
よつて初めて認められた。
(中略)

サーストンが認めた空間能力とは,対象
を 2次元または 3次元で思考する能力で,物体の
空間における関係を理解する能力のことである。
サーストンは, さらに, この空間能力を次の 3つ
の下位能力に分けてる。

a)視覚化 (具象化):
表象内容を思考上で操作できる能力
例えば,平面図形や立体をより小さな部分に
分割すること, これらの部分を平行移動や回転
によって再配列すること,それらをつなげたり
合成したりして,新しい平面図形や立体を作る
ことなどが挙げられる。

b)空間的関係 :
対象やその部分の空間的関係を正しく把握する能力
例えば,立体図形を展開図や見取図などに表
現する能力が挙げられる。

c)空間的方向づけ :
空間内に自分自身を正しく組み入れる能力
例えば,交通や旅行,教室などで, 自分自身
がどこにおり, どのようにすれば目的地に至る
かなどがわかる能力である。また,上下,前後 ,
左右の意味が理解できたり,ある位置から見た
図形の配置が理解できる能力である。
　

[35] mixiユーザー 10月18日 09:54

なるほど、28番で、にゃーさんがおっしゃりたかったことは、
もうちょっと厳密な文章で書ける筈ということでしたか。
33番を読んでわかりました。

でも、あいまいな文章から、
　　こんなケースや、あんなケースがありうる
とか、
　　出題の意図はこうであろう
とか推測するためにも「空間認識力」を必要としますから、その
能力を問うための例題としては、案外いい文章かも知れませんね。
(^_^)
　

[36] mixiユーザー 10月18日 18:28

ドーナツに関してはちょっと言葉足らずと思いましたが、
寝起きということでご勘弁を。

３１のHiroさんの解釈でいいです。35の意図はありません。
曲線自体の式を求めるのは出来ますが
その概形を創造するのは難しいと思いますが。
少なくとも、高校や大学の教養で通常で扱う曲線ではないです。

立体の対角線を軸にした回転は、高校数学の言葉でも表せます。

[37] mixiユーザー 10月18日 19:43

ドーナツのどこが難しいのかが、いまいちよくわからないんですが

なにか特殊なドーナツなんでしょうか？

特に何も指定がなければ、たとえば、
「ある平面上の円Ｃと、この円と同一平面上かつ円外にある点Ａを考える。
円の中心Ｏと点Ａを通る直線をＬとし、円Ｃと同一平面上にあり直線Ｌと点Ａで直交する直線をＭとする。
そして、直線Ｍを軸として円Ｃを回転させたときに通過する空間をＤとする。」
とかいう感じにすれば、この空間Ｄの形は「ドーナツ形」って言わないんでしょうか？

それとも、実際にドーナツを作る過程を反映させて、円柱を曲げて繋いだときに、内側と外側とでは生地の伸び縮み方の違いによって歪みが生じる、ということを言いたいんでしょうか？

でもそれだと、むしろ切り口の概形はすぐわかるけど数式で表現するのはそれなりに難しい、という感じじゃないかなと。

食い意地が張ってるからかも知れませんが、ドーナツが一番身近で一番イメージしやすいと思ったので、この切り口の概形が難しい、と言うことは、ドーナツという言葉を聞いてイメージするものが、りーさーさんと自分とでは根本的に何か違うのかな？と思ったのでした。

[39] mixiユーザー 10月18日 21:39

> 「ある平面上の円Ｃと、この円と同一平面上かつ円外にある点Ａを考える。
> 円の中心Ｏと点Ａを通る直線をＬとし、円Ｃと同一平面上にあり直線Ｌと点Ａで直交する直線をＭとする。
> そして、直線Ｍを軸として円Ｃを回転させたときに通過する空間をＤとする。」

　　　こう書かれた途端に、とっても難しそうに見えるから
　　　不思議ですね。
　　　(^_^)
　

[40] mixiユーザー 10月19日 01:03

> Hiroさん

まったくですねｗ

もっと簡単な表現はないものかと探りながらも、誤解しない範囲でうまい書き方を思いつかなかったので、こんな表現になってしまいました

下手に書くと「楕円」な断面もＯＫになっちゃったりしますし。
（まあそれでも「概形」としては簡単だと思いますが。）

[41] mixiユーザー 10月19日 12:31

やはり正確に表現しようと思うと数式になってしまいますね．
「空間内の xz平面上の点 (2,0,0)を中心とする半径1の円
をz軸を回転の軸にして
1回転出来る図形を平面 y=1 で切った切り口の概形を描け」
でしょうか．

初めてこの問題を見たとき，
想像したものと正確に描いたものがかなり様子が違ったので，
難しいと思いました。

機会があったら，学生さんに描かせてみます．

[42] mixiユーザー 10月19日 13:03

とりあえず、現時点での自分の意見を整理しておくと。

この問題で使う程度のイメージ力なら、別に特殊なものではなく、結構たくさんの人が持っている。

だけど、別にイメージ力がなくても問題を解くことはできる。

ただ、やっぱりこの程度のイメージ力は持っていないと会話しづらいことはある。

それはそれとして、こういう問題の扱いとしては、あまり神経質に配慮するほどの問題でもないと思う。

ちょっと提案するならば、もともと全問正解すれば１００点を超えるような配点にして、その中から狭く深く点を取るか、広く浅く点を取るかは受験者に任せる。（選択問題の選択数から幅を持たせる、ということ。）

このとき、どれか１つの分野だけでも突出してればいい、という考えで作問するなら、１つの選択分野だけで１００点取れる配点にすればいいし、最低半分くらいの分野の基礎くらいはできてほしい、という考えなら、各分野３０点とか４０点とかの配点にして、最低でも３～４個以上の分野を選択しないと満点に届かないような作問をすればいい。

たとえば、５つの分野について出題するとしたとき、全部１００点の配点があるけど、どの分野も１０点や２０点を取るのは大したことじゃないけど満点を取るのは至難の業、という問題にする。

この５問の中から１問だけ選んで完答を目指すか、４～５問選んでちまちま得点するか、それは解答者に任せる。

まあこれは極端な例だけど、こんなやり方もありなんじゃないかなと。

[43] mixiユーザー 10月19日 17:59

> りーさーさん

やっと、どういう切り方なのかがわかりました

ずっと、「ドーナツの中心を通る平面の一部」で切ると思ってました。

りーさーさんの切り方だと、「たまご×２個」って感じでしょうか

[44] mixiユーザー 10月19日 18:10

先ほど学生さんに問題を出したら、たまご2個を描きました。

私も初めてその問題を目にしたとき，そのように描いたのですが，
正確な図を描いてみると，
接すると思っていた部分が尖ってくっついているため，
たまごとは言えないと思いました。

[45] mixiユーザー 10月19日 22:21

> りーさーさん

なるほど。

つまり、そのくらいの精度を求めての「空間認識力」と言ってたわけですね

個人的にはこれが「楕円」でも「たまご形」でも「しずく形（？）」でもいいやって思ってたので…

この精度でいえば、他の例でも、たとえば「円錐の上にろうそくの火かな？」と書いたものなんかは、「ろうそくの火」の部分が「楕円」でも「たまご形」でも「凹んでないしずく形」でも「凹んでるしずく形（ドラクエのスライムみたいな形）」でも「尖ったしずく形」でも何でもいいけれど、とにかくぷくっと膨れたものが乗っかってる、って程度でいいや、と自分は思ってましたが、りーさーさん的にはそれでは足りないってことでしょうか。

たしかにその精度を求めると厳しいかも知れないです

[46] mixiユーザー 10月20日 12:29

尖っているかどうかを気にするのは、自分が数学者だからだと思います。
一般の人に求めるものではありません。

もちろん、大学入試において、
sin のグラフが原点に入り込む角度とか、
y=x^2がx軸上で平になっているかどうかなどは、
問題によっては正確でないと原点の対象になると思います。
（これは平面の問題でしたね。）

26で挙げた問題が、
小学生，中学生，高校生，数学科の学生，男女などで，
どのような解答になるか統計を取って調べたくなりました．

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