数値解析学コミュの＜50人突破記念＞雑談・情報交換スレ

8月下旬に作った当コミュニティーが、ついに50人突破しました！
というわけで、雑談・情報交換スレを作ってみました。
僕の直接メールを送って質問してくれても良いのですが、当コミュニティーには僕よりも詳しい人がいるかもしれないので、ここで聞いてみるのが良いと思います。
質問には答えられる範囲は頑張って答えようと思うので、よろしくお願いします。

コメント(9)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 09月18日 03:00

ルジャンドル変換について。

解析力学などで用いられる、ルジャンドル変換なんですが、
物理的意味がわかりません。

どなたか、イメージを語っていただけるとうれしいです。
キャレン本などには、系の対称性を保ったまま独立変数を取り替えると書いてありますが。

これは、基底を張り替えるだけなんですよね？
そのご、その張り替えた面の面積が保存される辺りがどうもいまいちわかりません。
良かったら教えてください。

あと、ラグランジアンのイメージもいまいち…。
汎関数として、変分を考える→最速降下線になる。
のところが良くわかりません（一番最初やん）。

高校生っぽくごりごり計算するだけなら何とかなるんですが…。

他人に説明できないんです。

良かったらお願いします。

[2] mixiユーザー 09月19日 17:58

解析力学は難しいですよね。
高校物理の力学から「力学＝簡単」というイメージを持って大学に入学し、解析力学の本を読んで日本語の本に見えなかったときはショックを受けました(笑)。

後者の方が僕にとって答えやすいので、後者から答えようと思います。
まず、変分法の用語を整理しようと思います。
汎関数とは関数を入力したら値を出力する写像のことで、関数の関数と呼ばれます。
変分とは汎関数の微分のことです。
簡単に表にすると下の表１と表２のような関係があります。

　　　　　　　表１
　　　　関数　　　　汎関数
入力　　値　　　　関数
出力　　値　　　　　値
　
　　　　　　　表２
　　　微分法　　　変分法
対象　　関数　　　　汎関数　　　

関数の最小値を求めたいとき、その関数を微分して0になるところを求めることによって最小値を求めます。
それと同様に、汎関数の最小値を求めたいときは、その汎関数の変分を求めてそれが0になるような関数を求め、最小値を求めます。
よって、汎関数の変分が0になるような関数を求めることが重要であり、このことを変分法と呼びます。
この (汎関数の変分)＝０の方程式は微分方程式であり、ラグランジュ・オイラーの方程式と呼ばれています。
最速降下線の場合は、?汎関数を求め、?変分を求めて０とおいてラグランジュ・オイラーの方程式を立てる、?それを解いてサイクロイドを求める、というステップで解いているはずです。
流れ自体は上で述べた変分法の流れそのものなのですが、?の方程式を立てる計算と、?の方程式を解く計算が少し大変だった記憶があります。
なので、枠組みさえしっかり見ていれば、大丈夫だと思いますよ。
あと、ラグランジアンですが、これは今までの
汎関数を立てる → ラグランジュ・オイラーの方程式を解く
の逆算で、
偏微分方程式を立てる → ラグランジュ・オイラーの方程式がその偏微分方程式になるような汎関数を求める
ということです。
この汎関数がラグランジアンで、一般化座標と言ってどんな座標系でも成り立つという優れた点があります。

ラグランジアンのイメージですが、これは物理的意味がある場合と物理的意味が無い場合があり、それは対象とする偏微分方程式によって違います。
例えば運動方程式の場合であれば、運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものです。
このように、古典力学の場合はラグランジアンの物理的意味が説明できるので、他の物理のジャンルではそこからラグランジアンを推測し、そのジャンルの基礎となる偏微分方程式を導く、という役割をすることも多いです。

ちょっと疲れたので、また後で投稿します。

[3] mixiユーザー 09月19日 21:13

上の書き込み長いですね(^～^;)
ちょっと口説かったかな、、、？

前半のルシャンドル変換ですが、これは色々な意味があるみたいですね。
一番有名なのが、ラグランジアンからハミルトにアンへの変換でしょうか。
物理的意味は↑の書き込み同様に、古典力学を基本としてそこから推測するものでしょう。

基底の変換とかの話はルシャンドル変換ではわからなかったのですが、正準変換ならある程度わかります。
正準変換は２次の微分形式を不変に保つ変換と解釈すると、基底の変換なので。
解析力学は途中から多様体とか余接バンドルとか微分形式とか、微分幾何学の話が沢山出てくるので大変ですよね。

間違いとかあったらごめんなさい。

[4] mixiユーザー 09月20日 02:11

大変助かりました。

特にこの辺りで、分かったような気がしました。
またお願いします。

>ラグランジアンのイメージですが、これは物理的意味がある
>場合と物理的意味が無い場合があり、それは対象とする偏微
>分方程式によって違います。
>例えば運動方程式の場合であれば、運動エネルギーから位置
>エネルギーを引いたものです。

続けてなんですが。
最速降下線になる＝ラグランジアンとすることに
物理的意味って無いんでしょうか？？
ありそうだけど、よくわからない！ってかんじです。

[5] mixiユーザー 09月20日 21:05

最速降下線になる＝ラグランジアン
というのの意味がよくわからないので、間違っているかもしれませんが答えてみます。
ラグランジアンを時間で積分したものを作用といいますが、これを最小とするようなものが運動方程式になります。
なので、最速降下線を通る運動は運動方程式に従うわけですから、物理的意味は最速降下線が作用を最小にするような経路だ、ということでしょうか。
違ったらすみません。

[6] mixiユーザー 09月23日 19:54

冷静に考えてみたんですが、↑の自分の書き込みかなり怪しいですね。
作用を最小にするような条件は、最短経路ではなくエネルギー同一の曲面だし。
あまり力になれなくてごめんなさい。

木曜日の深夜にフジテレビで「たけしのコマネチ大学数学科」放送していますね。
二日前に放送していたのは、なんと「くりこみ」
ここまで高度なことをやるとは驚きました。
統計力学で出てくる「くりこみ群」ですが、数学のジャンルにもなっているとは知りませんでした。
みなさん面白いので、良かったら見てください。

[7] mixiユーザー 09月30日 06:57

>冷静に考えてみたんですが、↑の自分の書き込みかなり怪しいですね。
>作用を最小にするような条件は、最短経路ではなくエネルギー同一の曲面だし。
>あまり力になれなくてごめんなさい。
いいえ～。私にも経験あるんですが、夜書くとかなり怪しいことが平気で書けたりします。
ネットって、下書きみたいな事でも書いちゃうことってありますよね。
それが良い点でもあるのですが。

でもホント、改めて変分→ＥＬ方程式というごく当たり前のことに気がついて、疑問点が解消された気がします。

Ｌ＝Ｔ－Ｕ型のラグランジアンで書ける場合について考えてるんだよな～。それだけなんだ。ってかんじです。

[8] mixiユーザー 10月07日 19:14

少しでも役に立てたのなら良かったです。
僕に答えれるかどうかはわかりませんが、また何かあったら気軽に聞いてください。

実はトップ画像は更新履歴には載せてないけど、途中で一回代えてあります。
以前のはノイズが多かったんだけど、ノイズが出ないように条件を決めて計算しました。
気付いた人は凄いです。
今のトップ画像ですが、一見綺麗に計算できているように見えますが、この2、3秒後に跡形もなく大破します。

[9] mixiユーザー 05月09日 22:24

今日ゼミでSIRモデルという、伝染病のモデルの説明聞きました。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ