意識構造探究クラブコミュの首ありと首なしの四元数

四元数に関して、実数部を持たない純虚四元数αとβの積は、α、βを3次元実ベクトルとみなして、
αβ＝－α・β＋α×β
と書いたが、この演算には深い意味があると思う。

普通の四元数は、
γ＝a+bi+cj+dk
といった形で、実数部のaと虚数部のb,c,dから成る。私はこの実数部を「頭」、虚数部を「体」と呼んでいる。「頭」はある意味「主観」的な「時間」の中に生き、「体」はある意味「客観」的な「空間」の中に生きる。これはかなり単純化した図式であるが、何となくは感じるところがあるだろう。

ところが、前述した純虚四元数同士の積には、純虚四元数なので、実数部、つまり、「頭」の部分がないのである。そして、「頭」のない者同士を掛け合わせるとどうなるかと言うと、なんと「頭」が生えてくるのである。これは何とも奇妙な構図だ。私にはどこかポスト・モダン的な香りのする化け物のように思える。本来「頭」として、司令塔として自立しているはずの頭が体同士の演算によって製造され、載せられているということだ。何だか、現代の政治や経済状況でも見ているようだ。首から上は無くたっていい。いくらでも挿げ替えられるわけだから、ということになる。これは空恐ろしい。

一方、普通の四元数同士の演算の場合、
γδ＝（a+bi+cj+dk）（e+fi+gj+hk）＝ae－α・β+(aβ+αe)＋α×β
といった感じになる。これだと首なしにはならない。頭は体を従えて役割を果たしている。体も頭の指示にしたがい、無限の回転構造（ループ）から抜け出るからのような直進部分を持っている。無限の回転構造が第３項の（　）内であり、直進部分は第４項というわけだ。それを条件付けして統率している部分が第1項と第2項の差分である。

これはなかなかうまく言い表せているのではないだろうか。

確か、白川静さんによると、討ち取って切り取った敵の「首」をひっくり返し、領土の境界線に置いたのが「県」の字の形になったという話だったように思う。「県」が「境界条件」を持った「空間」というように考えれば、「頭」なしの意味はすごい。実際、先ほどの、四元数の積で、片方の頭を失くせば、
γδ＝（a+bi+cj+dk）（fi+gj+hk）＝－α・β+aβ+α×β
となり、共同の頭は持たず、相手の領土まで自分の体にして支配するような構図になる。これは何ともすごい感じがする。

今でも、自己と他者の関係において、このような意識の支配構造が起こっていないだろうか。

いや、それを避けようとしてもっとひどいことにもなっている。それが先ほどの両者が首なしの状態である。…ああ、恐ろしや。私は首なしにはなりたくない。

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 06月25日 11:47

特に今回のトピックに関連すると思われる、私が過去にブログ上で書いた記事です。参考までに。

86.[Hot Side]　(3, 1) 問題(4)
http://jiganoformen.cocolog-nifty.com/blog/2006/03/86hot_side3_1_4_0916.html

126.[Hot Side]　人生と時空の関係について
http://jiganoformen.cocolog-nifty.com/blog/2006/05/126hot_side_3400.html

136.[Hot Side]　時間の空間化と空間の時間化(3)
http://jiganoformen.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/136hot_side_3_f589.html

ついでに、こちらもよろしく。

147.『自我のフォルメン』を振り返る
http://jiganoformen.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/147_c19f.html

[2] mixiユーザー 08月23日 18:50

ところで、u,vとも純虚四元数、つまり、実数部のない「bi+cj+dk」という形の四元数だとするとき、
反交換子積を[u,v](+)＝uv+vu、
交換子積を[u,v](-)＝uv-vu
と定義すれば、u,vを3次元ベクトルとみなして、
[u,v](+)＝-(u・v)e＝-(uvの実数部)＝-(u,vの内積)
＝-(uvの実数部)[u,v](-)＝+(u×v)＝+(u,vの外積)
となります。まるで、
[u,v](+)は「点」ベクトル
[u,v](-)は「面」ベクトル
という感じがします。[u,v](+)を「頂点」、[u,v](-)を「底面」とした円錐みたいですね。

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