意識構造探究クラブコミュの時空が単位円に投げ込まれる様子

数学や物理学が不得手の人でもわかるように、ちょっとわかりやすく説明してみます。

小学校の頃だったか、速さの問題で、「車で時速50kmで6時間、ぶっ通しで走ったら、何km先の地点にたどりつくか」といった問題がある。これは、一般的な数式へと拡張することができて、
x'＝vt（x'：距離,v：速さ,t：時間）
と書けるが、最初の位置を原点からx(m)の地点とすれば、
x'＝x＋vt
となる。この単純な等式こそ、「ガリレイ変換」の基本式になる。

もう少し正確に述べるなら、上記の等式は、車という物理的「対象」の「運動」の等式であるが、「ガリレイ変換」と呼ばれる場合は、どちらかと言うと、そういった「対象の運動」の視点ではなく「観察者（座標系）の移動（変換）」の視点で使われる場合が多いように思う。

対象側が「x'＝x＋vt」という形で運動する場合、この運動系全体の局所座標系は「x'＝x−vt」で表わせる。つまり、「対象の運動」の方向と逆方向に「観察者の移動」が起きるわけである。ちなみに、「ガリレイ変換」の前提となる「絶対時空」において、運動系という座標系が変わろうと要した時間は変わらないので、「t'＝t」となる。つまり、「t'＝t」と「x'＝x−vt」の２式が座標系の「ガリレイ変換」を表すことになる。座標系の「ガリレイ変換」の下では、変換前後で、２点間の「距離」は変わらない。

さて、アインシュタインの「特殊相対性理論」は、このガリレイ変換によって絶対時空では距離は変わらないのに、電磁場の世界、つまりは光子の世界では距離の不変性が破綻してしまうことを、私たちに教えてくれる。光速度に近づくと、距離は大きく歪んでしまうのだ。これを「ローレンツ収縮」と呼ぶ。

ちなみに、私たちが住んでいる世界は、多かれ少なかれ電磁場的な世界だとも言えると考えれば、特殊相対論、つまり「光速度不変原理＋特殊相対性原理」が成り立つはずだということになる。

ガリレイ相対原理とか特殊相対性原理とか言うと、いかにも小難しい話になるように思えるが、要するに、上述の距離を求める数式「x'＝x−vt」がどう変わるかというだけのことである。最終的には特殊相対論的世界では距離の考え方が変わる。

2次元空間の距離と言えば、「x^2＋y^2＝r^2」という円をベースにして、x^2＋y^2の平方根というものを考えるが、2次元時空（＝1次元時間＋1次元空間）の距離と言えば、「x^2−y^2＝r^2」という双曲線をベースにして、x^2−y^2の平方根というものを考えることになる。

この2次元時空における距離を「時空距離」と呼ぶことにすれば、この時空距離が座標系の変換の下で変わらなくなるような、座標変換を選べばよいことになる。上記のxを時間ct、yを空間xで置き換えれば、時間は「ct'＝γ｛ct−(v/c)x｝」と変換され、空間は「x'＝γ｛x−(v/c)(ct)｝」と変換される。このγは、1/√{1-(v/c)^2}という定数である。このような座標変換こそ、「ローレンツ変換」（ただし、ここでは２次元時空におけるローレンツ変換）である。

ここで、v/c＝tanhζとおけば、時間の変換式は「ct'＝ctcoshζ−xsinhζ」、空間の変換式は「x'＝xcoshζ−ctsinhζ」と表わせる。このcoshζとsinhζは、双曲線正弦、双曲線余弦と呼ばれる。双曲線正弦、双曲線余弦は、それぞれ、
coshζ＝{e^(+ζ)＋e^(-ζ)}/2
sinhζ＝{e^(+ζ)−e^(-ζ)}/2
と書かれるので、正弦、余弦が
cosθ＝{e^(+iθ)＋e^(-iθ)}/2
sinθ＝{e^(+iθ)−e^(-iθ)}/(2i)
と書かれることと酷似している。ということは、「ローレンツ変換」において、ζ→iθと変数変換し、時間座標成分をct→ictと変換すれば、「ローレンツ変換」を示す等式は、「回転変換」を示す等式へと化ける。そのため、2次元時空における「ローレンツ変換」は、「擬回転変換」とも呼ばれる。

すなわち、「擬回転変換」である「ct'＝ctcoshζ−xsinhζ, x'＝xcoshζ−ctsinhζ」は、変数変換によって、「ict'＝ictcos(iθ)−ixsin(iθ), x'＝xcos(iθ)＋ctsin(iθ)」に置き換えられる。ここで、第一式の両辺をiで割れば、「ct'＝ctcos(iθ)−xsin(iθ), x'＝xcos(iθ)＋ctsin(iθ)」となるから、これは「回転変換」の等式を表す。この「回転変換」は「単位円上の移動」のことだとも言える。

つまり、言い換えれば、私たちの目の前に広がる光景という名の、電磁場的な時空における直線運動というのは、観察者の移動の仕方（座標変換の形式）を換えてしまえば、単位円上の移動として認識されることになる。

まずはこの辺りから、人間の観察→意識の構造を考えてみると、いろいろ面白いと思う。