位相幾何学（トポロジー）コミュの質問です☆

現在、数学の免許取得のため、トポロジーを勉強しているものですが、独学のためいきづまっております。以下の問題なのですが、お力をお貸ししていただけないでしょうか？

?XをNの有限部分集合全体の集合とするとき、｜X｜＝アレフゼロをしょうめいせよ。

?fを集合Xから集合Yへの全射とするとき、｜X｜≧｜Y｜をしょうめいせよ。

です。よろしくお願いいたします。

コメント(17)

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[2] mixiユーザー 09月29日 13:10

>すなわち,あるYの元に対してXの元が２つ（以上）対応するから|X|>|Y|である。
↑
X,Yが無限集合なら、ここまで言えない。

設問２は、
Xの部分集合Zを取って、f:Z→Yを全単射とすれば、
|X|≧|Z|=|Y|になる。

設問１は、
Xを個数で分類して、それぞれが可算集合。可算集合の可算和が可算であるから、Xも可算。

これらの考え方で証明できませんか？

[3] mixiユーザー 09月29日 17:43

返信遅くなってすいません。

しげさん、１１７７さんありがとうございます。
設題２のほうは理解できました。

設題１のほうがよくわかりません。

幾何学を学びはじめてから、日が浅く理解に苦しんでおります。誤答であれば恥ずかしいのですが、下の回答でよろしいのでしょうか？

Xの部分集合X1、X2をそれぞれ、｛１、２、・・・、１０｝｛１１、１２、１３、・・・・、２０｝とすると、X1∪X2は｛１，２，３，４、・・・・、２０｝になる。したがって、X=アレフゼロである。

[4] mixiユーザー 09月29日 18:42

設題１について。
自分の意図を詳しく書くと、以下のようになります。

Xを
要素が1個 X(1)∋{1}，{2}，{3}，・・・
要素が2個 X(2)∋{1，2}，{1，3}，・・・，{2，3}，{2，4}，・・・
要素が3個 X(3)∋{1，2，3}，・・・，{2，3，4}，・・・
・・・
X(n)：Nの部分集合で要素がn個のもの全体
とする。
その時、すべての自然数n∈NでX(n)が可算集合で、
X=X(1)∪X(2)∪X(3)∪・・・∪X(n)∪・・・
となって、Xが可算集合の可算和だから、Xも可算。

ただし、「各X(n)が可算」は、成り立つと思うけどチェックしてない。

[5] mixiユーザー 09月29日 19:44

ありがとうございます。やはり、別の理解をしていました。１１７７さんの回答を参考にもう少し理解を深めたいと思います。

[6] mixiユーザー 09月29日 22:28

X(n)が可算であることを証明するよりも、
つぎのようにしてはどうでしょう？

Y(n)＝{1,2,...,n}のすべての部分集合の集合
とします。
Y(n)が有限集合であることは明らかです。実際、2^n個です。
このとき、
X=Y(1)∪X=X(1)∪Y(2)∪Y(3)∪・・・∪Y(n)∪・・・
となって、Xが有限集合の可算和だから Xも可算です。

[7] mixiユーザー 09月29日 23:49

おととさん返信ありがとうございます。どちらでもしょうめいできるのですね☆両方を参考にして、理解を深めたいと思います☆

[8] mixiユーザー 09月29日 23:56

おととさんの方がgood!

たぶん自分は、大学の時、同じ指摘をされてる。
成長してない

[9] mixiユーザー 09月30日 00:55

１１７７さん＞ありがとうございます☆皆さんのおかげで助かりました☆

[10] mixiユーザー 10月24日 22:10

ありゃりゃりゃ。さきほど読み返して気づいたのですが、
上の私の書き込みにはよく見ると書き間違いの部分がありますね。
＃コピペミスです。

再度、補足も含めて、もう少し丁寧に、正しく書きます。

----

自然数の集合の有限部分集合の全体Xが可算であることの証明：

Y(n)を「{1,2,...,n}のすべての部分集合の集合」とします。

Y(n)が有限集合であることは明らかです。実際、2^n個です。

さて、自然数の有限集合に含まれる数には最大値が存在しますから、
Xに属するどの元もあるY(n)に属します。ですので、
X⊂Y(1)∪Y(2)∪Y(3)∪・・・∪Y(n)∪・・・となります。

一方、各Y(n)がXの部分であることは明らかなので、
X⊃Y(1)∪Y(2)∪Y(3)∪・・・∪Y(n)∪・・・です。

結局、
X=Y(1)∪Y(2)∪Y(3)∪・・・∪Y(n)∪・・・
となって、Xが有限集合の可算和だから Xも可算です。

[11] mixiユーザー 10月29日 23:36

横からお邪魔します。似たようなものを考えていてつまったことがあったので、便乗して質問させて頂きます。

＞２　１１７７さん

＞設問２は、
＞Xの部分集合Zを取って、f:Z→Yを全単射とすれば、
＞|X|≧|Z|=|Y|になる。

の部分ですが、Ｙの濃度が実数濃度以上の場合は、選択公理を仮定しないと簡単には部分集合Ｚが取れないような気がするのですが、その場合でも正しいのでしょうか？または反例があるのでしょうか？？
（もしくは、こういう場合は仮定するのを暗黙の了解とするんでしょうか？）

この手の、濃度に関する勉強はあまりちゃんとしてなかったので、とんちんかんな質問かも知れませんが、もしよろしければ教えて頂ければと思います。
よろしくお願いします。

[12] mixiユーザー 10月30日 01:48

きりさん(コメント11)への回答
Zを取るのに選択公理を仮定しました。反例は、私には作れません。

暗黙の了解かどうかについて：
「選択公理と数学」(田中尚夫著、遊星社、1987年)から引用してみると。
第３章§29より「現在のところ，数学では選択公理はほとんど自由に使われているように思う。」
でも、この本に出会う前から、あえて選択公理を使うなと書かれてない時は、選択公理を使ってよいと思ってます。

[13] mixiユーザー 10月30日 02:53

＞１２　１１７７さん

早速の回答ありがとうございます！
やっぱり選択公理は仮定して考えるのが普通なんですね。
スッキリしました！

仮定しない場合にどうなってるのかは少し気になるところですが、もう少し考えてみることにします。
ありがとうございました。

[16] mixiユーザー 10月24日 16:11

>15 ヒトデさん

図ではなくて、degの定義を使わないと。
degの定義を何にしているかによって、話は変わってきます。

[17] mixiユーザー 10月24日 23:49

トポロジー初心者です。教えてください。

サーストンの幾何化予想
「3次元閉多様体は、幾何構造を持つ8種類の断片から成る」
についてですが、この8種類とはどのようなものなのでしょうか？？

まず2次元多様体で例えて説明して頂けると助かります。
2次元だと何種類になるのでしょうか？

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