大学院飛び級に博士課程中退､27歳女性数学者が国際賞を受賞／京都大准教授は日本出身の､女性版の｢21世紀のアインシュタイン｣の誕生とも評せられる､久々の明るい話題だ

【キーワード】新進気鋭の女性数学者、指数定理での貢献評価、女性アインシュタイン


【件　名】

｢大学院飛び級に博士課程中退､27歳女性数学者が国際賞を受賞／トポロジー研究を評価されて､Googleの｢ブレークスルー賞｣と｢マリアム･ミルザハニ･ニューフロンティア賞｣を受賞した京都大准教授／日本出身の､女性版の｢21世紀のアインシュタイン｣の誕生とも評せられる､久々の明るい話題｣


【投稿者コメント】

　東京大の学部生3年の時に東大大学院に飛び入学して､博士課程を5カ月で中途退学して､23歳で京大数理解析研究所の助教に就任し､さらに､21年に日本数学会賞建部賢弘奨励賞を受賞､22年､若手女性科学者に贈る｢羽ばたく女性研究者賞(マリア･スクウォドフスカ=キュリー賞)｣の第1回最優秀賞に選ばれ､｢圧倒的に学術的プレゼンスが秀でている｣と絶賛された飛び抜けた才媛だ｡

　受賞理由は｢数理物理学､指数定理への貢献｣と云う事だが､｢指数定理｣は｢解析学｣と｢幾何学｣と云う見掛け上異なった体系の間のつながりを与えていると云う意味で､20世紀の微分幾何学に於ける最も重要な定理とも云われる｡

　山下真由子京都大准教授(27歳)は､自著の｢代数トポロジーと物理学｣の中で､
｢代数トポロジーとは､幾何学的対象の情報を扱いやすい代数的な情報に落として不変量を得る枠組みだ｡純粋数学的な問題意識から発展して来た代数トポロジーの手法が､近年物理学に応用出来る事が明らかにされて､注目を集めており､本講義では､代数トポロジーを物理学の分類問題に応用する基本的なアイデアを､物性物理学や素粒子物理学に現れる例に基づいて解説した｡｣と述べている｡

　山下真由子准教授は､自著の中で､

・金属学･冶金学で云う､鋼(はがね)の焼入れの｢マルテンサイト結晶変態(相転移)｣や

・｢宇宙物理学｣で云う｢相転移｣
((
　｢物質の質量獲得｣：電弱相転移に依り､素粒子が質量を持ち､宇宙に存在する物質が構成された､
　｢宇宙のインフレーション｣：宇宙初期の急速な膨張(インフレーション)は､或る種の｢真空相転移｣に依って引き起こされたと云う理論があり､

　｢宇宙ひもや重力波の生成｣：｢相転移｣の際に､真空の｢対称性｣が異なる領域が衝突して､｢宇宙ひも｣と呼ばれる構造や､その後の｢重力波｣の発生源となったと考えられている｡物理学ではこれを｢自発的対称性の破れ｣とも呼び､対称性の高い高温状態から､安定した秩序を持つ低温状態への転移として解釈される
))
　と云う物理事象を､数学の｢代数トポロジー｣の手法を用いて､添付図５の如く､｢物理系のパラメータが特定の値(m = 0, 2, 4)を取る場合は､スペクトルギャップが閉じて､前後で系の性質が変わると云う現象である､物理学の極めて重要な概念の｢相転移(変態)｣を数学的に証明して､

　更に､自著の中で､
　｢SPT相(Symmetry Protected Topological Phases)と呼ばれ､一般の対称性を持つ場合も分類に代数トポロジーの手法が適用可能であるとされており､この代数トポロジーの手法は､｢コボルディズム群｣､或いは､その｢双対｣を成す｢一般コホモロジー理論｣となり､このSPT相の分類は､物性物理学で重要なだけではなく､素粒子物理学でも現れる｢量子異常の分類｣とも深く関係している｡代数トポロジーの手法を用いて素粒子物理学に於ける｢量子異常｣を数学的に解析するなどの応用は､現在盛んに研究されている｡｣とも述べて､

　下記の【以下転載２】に示す様に､大阪大学の深谷英則氏らの研究の｢APS指数定理と同じ結果を与える新しい定式化を見出す研究(非局所的境界条件を必要とせず､ドメインウォールフェルミオンと呼ばれる､トポロジカル絶縁体の良い模型となる演算子を用いて､APSと同じ結果を与える物理量を定式化した)では､

　｢指数定理の専門家である山下真由子氏らが加わり､物理､数学の分野をまたがる共同研究へと発展した結果､｢任意のAPS指数に対して､それと同じ結果を与えるドメインウォールフェルミオンの演算子が存在する｣事の数学的証明を与える事が出来た｡｣と､山下真由子京都大准教授の貢献･寄与を報告している｡

　更に､｢トポロジカル絶縁体｣デバイスが実用化されれば､消費電力は､1/100から1/1000くらいに桁違いに下がるので､かなり応用が広がり､データサーバーの消費電力が大きく下がる事になるので､非常にコンパクトな電源で､今と同じデータ量を扱う事が出来る様になり､社会インフラのモニタリングでも､省電力のトポロジカル絶縁体を使ったトランジスタが出来れば､無線でデータを集めて､全国の橋梁のモニタリングデータとして蓄積出来て､どの橋梁が､今危ないのかを検出して､震災で落下した橋などのデータを蓄積しておけば､GPSと連動して災害を食い止めると云った応用にも使える｡省電力に寄与するトポロジカル絶縁体デバイスが開く未来は､明るい！

<<　この様に､山下真由子京都大准教授の貢献は､金属学の鋼(はがね)の焼入れ(結晶変態､相転移)から､21世紀の新規の省エネ電子デバイスである｢トポロジカル絶縁体｣デバイスの実現から､｢量子力学｣の事象解明や､｢宇宙物理学｣の｢相転移｣事象である､｢物質の質量獲得｣や｢宇宙のインフレーション｣や､｢初期の急速な膨張(インフレーション)｣の｢真空相転移｣や､｢宇宙ひもや重力波の生成｣などの｢自発的対称性の破れ｣と云う､対称性の高い高温状態から､安定した秩序を持つ低温状態への｢相転移｣事象の数学的証明と幅広く､｢圧倒的に学術的プレゼンスが秀でている｣と絶賛された所以(ゆえん)となっている！

　云うならば､日本出身の､女性版の｢21世紀のアインシュタイン｣の誕生とも評せられる､久々の明るい話題だ！　>>


<< 数学や物理学の専門用語が林立した文章など､真っ平､御免だと云う向きは､下記の【以下転載１】へ >>


　ここで､｢トポロジカル絶縁体｣とは､何か？

｢トポロジカル絶縁体､未来材料の夢広がる｣
https://www.tel.co.jp/museum/magazine/material/150327_crosstalk01/index.html
に依れば､

『
　この｢トポロジカル絶縁体｣と云う材料は21世紀に入って見つかった材料だ｡最初は理論的に予想されているだけだったが､その後､実験に依り確立された材料だ｡
　無機物質には､導電体(金属)､半導体､絶縁体と､大きく分けて3つの種類があり､通常は室温(20〜30℃)でどれかに属する｡ところが､トポロジカル絶縁体は､表面は導電体なのに中は絶縁体と云う材料なのだ(添付図６)｡

　現状の何かをトポロジカル絶縁体と置き換えると云う事だけではなく､例えば､電子スピンの時間反転対称性(時間の流れを逆にしても変わらないと云う対称性を持つ)と云う独特の特性を持っている事を積極的に活用する事も出来る｡スピンの時間反転対称性とは､或る保存則があり､それに依って､一定の条件でしかスピンが存在しない性質を指す｡この性質を活かし､スピンだけで動作する様なデバイスが出来れば､現在の半導体チップよりも発熱量を減らして､省エネルギーで動作する事が可能になる｡(添付図７)｡

　トポロジカル絶縁体を使って､どの様なデバイスが出来るのだろうか？

　例えば､現在のシリコンLSIに使われているMOSトランジスタは､ゲート(入力端子)に電圧を加えて出力の電流を制御する｢電界効果トランジスタ｣(添付図８)が､トポロジカル絶縁体のトランジスタは､ゲート電圧の代わりに､磁界を加えて電流を制御出来る｡つまり､｢磁界効果トランジスタ｣の様なものだ｡

　デバイスの消費電力と云う観点では､今のMOSトランジスタでは､0.5Vとか0.3Vと低い電圧で動作するFET(トランジスタ)の開発が行われているが､トポロジカル絶縁体だとどのくらい消費電力は下がるのかと云うと､1/100から1/1000くらいに桁違いに下がるので､かなり応用が広がるだろう｡

　当方の研究所では､データサーバーの省電力化と云うプロジェクトを進めている｡実はグーグルとかアマゾンの様なサーバーは非常に大きな電力を消費していて､発電所がそばにあると云われている｡ただ､その消費電力の半分が冷却の為のファンを回すモーターに依って費やされる電力だ｡ファンは電子がスイッチングする時やデータを記憶する時の熱を冷やす為に使われている､スイッチング動作の電力が少なければ､冷却ファンも不要になる｡データサーバーの消費電力が大きく下がる事になれば､発電所は要らなくなり､非常にコンパクトな電源で､今と同じデータ量を扱う事が出来る様になる｡

　当方が所属する物性･材料研究機構では､国土強靭化に資する材料開発が行われている｡この開発テーマでは､社会インフラのモニタリングをどうするかだ｡例えば､古い橋梁や道路があるとすると､それがいつまで耐えられるのか､それを予測しなければならない｡その為に応力や腐食などの問題を検出するセンサを張り巡らせて､そこからデータを取る事が必要となる｡

　現在､そこに使われている電源技術には､電池やマイクロ波無線給電などがあるが､消費電力が多くコストが下がらない｡センサからデータを集めてビッグデータにする為には､1個1個のセンサを小さくして消費電力を少なくする必要がある｡その為には､エネルギーハーベスティングを利用する手があるが､振動などで得られる電力は小さいので､格段に小さな電力で動くトランジスタが求められる｡省電力のトポロジカル絶縁体を使ったトランジスタが出来れば､無線でデータを集めて､全国の橋梁のモニタリングデータとして蓄積(ビッグデータ)出来る｡どの橋梁が､今危ないのかを検出して､震災で落下した橋などのデータを蓄積しておけば､GPSと連動して災害を食い止めると云った応用にも使えそうだ｡省電力は､これからの大きな産業を生み出すベースとなると思う｡

　更に､1nmの超小型のトランジスタが出来れば､半導体の｢ムーアの法則｣を超える新しい高集積回路が出来る可能性もある｡

　加えて､トポロジカル絶縁体を使ったセンサが､将来的には実現出来ると思う｡磁性センサでは､遷移金属のd軌道の電子を利用する鉄やコバルトと云った磁性材料が昔から使われて来たが､トポロジカル絶縁体は､d軌道の電子を使わずに､p軌道の電子だけで磁性を生み出す｡なおかつ､p軌道の電子は電界に依っても制御出来るので､電界と磁界で､トポロジカル絶縁体の特性を制御出来るのは面白い｡そうすると､材料の選択の幅がずっと広がる｡
』
　と､トポロジカル絶縁体を使った､スピンだけで動作する様なデバイスが出来れば､
現在の半導体チップよりも発熱量を減らして､省エネルギーで動作する事が可能になり､

　トポロジカル絶縁体のトランジスタは､ゲート電圧の代わりに､磁界を加えて電流を制御出来る｢磁界効果トランジスタ｣の様になり､消費電力は､1/100から1/1000くらいに桁違いに下がるので､かなり応用が広がり､データサーバーの消費電力が大きく下がる事になるので､非常にコンパクトな電源で､今と同じデータ量を扱う事が出来る様になり､社会インフラのモニタリングでも､省電力のトポロジカル絶縁体を使ったトランジスタが出来れば､無線でデータを集めて､全国の橋梁のモニタリングデータとして蓄積出来て､どの橋梁が､今危ないのかを検出して､震災で落下した橋などのデータを蓄積しておけば､GPSと連動して災害を食い止めると云った応用にも使える｡省電力に寄与するトポロジカル絶縁体デバイスが開く未来は､明るい！

◇

　そもそも｢指数定理｣とは何か？


<< 数学や物理学の専門用語が林立した文章など､真っ平､御免だと云う向きは､下記の【以下転載１】へ >>


　｢アティヤ＝シンガーの指数定理(Atiyah–Singer index theorem)｣とは､スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について､｢解析的指数｣と呼ばれる量と｢位相的指数｣と呼ばれる量とが等しいと云う定理だ｡｢解析的指数｣は､与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり､一方で､｢位相的指数｣は微分作用素の主表象を基にして､多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量だ｡従って､｢指数定理｣は｢解析学｣と｢幾何学｣と云う見掛け上異なった体系の間のつながりを与えていると云う意味で､20世紀の微分幾何学に於ける最も重要な定理とも云われる｡

　この｢アティヤ＝シンガーの指数定理｣は､量子力学の｢ゲージ理論｣に於いて､｢反自己共役接続のモジュライ空間の形式的な次元の計算｣など､様々な部分に応用される｡

　一般的に､古典的な理論で成立する｢対称性｣が｢量子化｣に依って破れる事を｢量子異常｣､又は､｢アノマリー｣と云う｡代表的なアノマリーとして､｢カイラル･アノマリー｣､｢重力アノマリー｣､｢パリティ･アノマリー｣などがある｡｢アティヤ＝シンガーの定理｣を使えば､アノマリーに幾何学的な意味を与える事が出来る｡

◇

　山下真由子京都大准教授は､自著の｢代数トポロジーと物理学｣( https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/R5-mayuko.pdf )の中で､
｢代数トポロジーとは､幾何学的対象の情報を扱いやすい代数的な情報に落として不変量を得る枠組みと云える｡この様に純粋数学的な問題意識から発展して来た代数トポロジーの手法が､近年物理学に応用出来る事が明らかにされて､注目を集めている｡本講義では､代数トポロジーを物理学の分類問題に応用する基本的なアイデアを､物性物理学や素粒子物理学に現れる例に基づいて解説した｡｣と述べている｡

　更に､｢代数トポロジーとは､位相空間や多様体などの幾何学的オブジェクトから群や不変量などの代数的な情報を取り出して研究する分野である｡大雑把には､空間に対する不変量をシステマティックに取り出す枠組みと云える｡代数トポロジーの概念の例として位相的K理論が､｢スペクトルギャップを持つ量子力学系｣の分類に応用出来る事を紹介する｡｣とも述べている｡

　更に､｢ハミルトニアンH(*-1)が､H = H− ⊕ H+ (26)と分解されて､H−が｢低エネルギー有効状態｣の成す空間と解釈される場合は､分解(26)のフーリエ変換での像は､F(H±) = L＾2(T; V±)(34)(複号同順)となる｡従って､ギャップを持つ局所的で平行移動不変なハミルトニアンの｢低エネルギー有効状態｣のなす空間H−の情報は､T上のベクトル束V−の情報と等価になる｡

　実数 m∈R を固定して､ Hm = Hm(x,y)∈C^∞(T^2;M2^sa(C)) を以下で定義する｡
　Hm(x, y) := sinx*σ1 + siny*σ2 - (2 - m - cosx - cosy)*σ3　(38)
　m = 0, 2, 4 の場合は､スペクトルギャップは存在せずに､この様に物理系のパラメータが特定の値(m = 0, 2, 4)を取る場合は､スペクトルギャップが閉じて､前後で系の性質が変わると云う現象がしばしば起こる｡これは物理に於ける｢相転移｣に対応して､物質の性質の変化として実際に観測されている｡

　ハミルトニアンの最低固有空間が1次元であり最低固有値が孤立している､と云う性質を持つ系は､SPT相(Symmetry Protected Topological Phases)と呼ばれ､一般の対称性を持つ場合も分類に代数トポロジーの道具が適用可能であるとされている｡ここで用いられる代数トポロジーの道具は､コボルディズム群､或いは､その｢双対｣を成す｢一般コホモロジー理論｣だ｡さらに､SPT相の分類は､物性物理学で重要なだけではなく､素粒子物理学でも現れる｢量子異常の分類｣とも深く関係している｡代数トポロジーの道具を用いて素粒子物理学に於ける｢量子異常｣を数学的に解析するなどの応用は､現在盛んに研究されているテーマである｡｣とも述べている｡

◇

　下記の【以下転載２】では､『2017年に､大阪大学の深谷英則氏､大野木哲也氏､山口哲氏らは､素粒子論で良く知られた手法を使って､｢APS指数定理｣と同じ結果を与える新しい定式化を見出した｡｢非局所的境界条件｣を必要とせずに､｢ドメインウォールフェルミオン｣と呼ばれる､｢トポロジカル絶縁体｣の良い模型となる演算子を用いて､APSと同じ結果を与える物理量を定式化した｡この新しい定式化は計算もより簡単なので､｢物理屋でもわかるAPS指数定理｣として発表した｡

　この研究は数学者からも大きな反響を呼び､指数定理の専門家である古田幹雄氏､松尾信一郎氏､山下真由子氏が加わり､物理､数学の分野をまたがる共同研究へと発展した｡その結果､｢任意のAPS指数に対して､それと同じ結果を与えるドメインウォールフェルミオンの演算子が存在する｣事の数学的証明を与える事が出来た｡

　この証明では､更に､1次元高い時空の指数定理を異なる2つの方法で評価して､それぞれがオリジナルのAPS指数､及び､深谷英則氏らの新しい定式化と一致する事で示された｡この結果は､任意の偶数次元、任意のリーマン計量を持つ多様体上でのAPS指数について成り立つものである｡』と､上記の【以下転載１】に記載の山下真由子京都大准教授の貢献･寄与が記載されている｡


(*-1)ハミルトニアンとは？

量子力学モデルに於いて､物理系は､
・複素ヒルベルト空間H､｢有り得る物理状態全体｣を表す空間である｡
・ハミルトニアンと呼ばれる自己共役作用素D:H → H｡
　と云う組(H,D)に依って指定される｡作用素Dは系の｢時間発展｣を生成する作用素と云う物理的意味がある｡具体的には､時間が経過する事に依り物理状態はユニタリ作用素に依って発展する｡時間t ≥ 0 経過した時の対応するユニタリ作用素をUt:H → Hとすると､時間の和を取る事は時間発展作用素の合成に対応するはずなので､ Ut+s = Ut ⊕ Us (23)が任意のt,s ∈ R≥0 に対して成立する(この様な性質をもつ族 {Ut}t≥R≥0 を1-パラメータ半群と呼ぶ)｡関数解析でよく知られた定理(Stone-von Neumannの定理)より､この様な族は或る自己共役作用素Dを用いて Ut = e^itD と書く事が出来る｡この作用素Dが上に現れたハミルトニアンである｡ハミルトニアンの固有値は､状態のエネルギーを表すと云う物理的意味がある｡つまり､Hは｢物理状態全体｣を表す空間である｡
　つまり､ハミルトニアン(Hamiltonian)は､物理学(解析力学･量子力学)に於いて､システム全体の全エネルギー(運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー)を表す重要な物理量(通常Hと表記)だ｡古典力学では､一般化座標と運動量の関数､量子力学ではエネルギー演算子として､系の時間進化や状態を記述する｡


【以下転載１】
https://digital.asahi.com/articles/ASR9H51R6R9HPLBJ001.html
｢大学院飛び級に博士課程中退、27歳数学者が国際賞　トポロジー研究｣

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Asahi.com　石倉徹也　2023年9月15日17時00分
添付図１_写真･図版_山下真由子さん（C）　Breakthrough　Prize

添付図２_京都大学=京都市左京区

　米グーグルの創業者らが出資して賞金300万ドルを誇る「ブレークスルー賞」が14日に発表され、優れた若手女性数学者に贈る「マリアム・ミルザハニ・ニューフロンティア賞」に山下真由子・京都大准教授（27）が選ばれた。山下さんは昨年博士号を取得したばかりだが、国際会議にも招待されるなど新進気鋭な数学者として知られている。

　数学で日本人が受賞するのは、2021年の京大数理解析研究所の望月拓郎教授（51）が受賞したブレークスルー賞以来。マリアム・ミルザハニ・ニューフロンティア賞の賞金は5万ドル。

■数学を物理学に応用｢これからも邁進します｣

　受賞理由は「数理物理学、指数定理への貢献」。指数定理は、モノの形に潜む性質を調べるトポロジー（位相幾何学）の重要な理論で、山下さんは特に、複雑な図形や空間を代数的な情報に落として探る「代数トポロジー」を研究する。

　トポロジーは、「超ひも理論」など物理学との関係が深く、山下さんは物理現象を空間の性質として説明する「場の理論」に応用するなど、数学と物理の橋渡しとなるような研究を続ける。理論物理学者との交流もあり、国際会議にも招待されている。そうした研究が評価されたという。

　山下さんは「このようなすばらしい賞をいただき、大変光栄です。日々支えてくださっているみなさまのおかげです。まだまだ未熟者ですが、みなさまのご期待に応えられるようこれからも研究に邁進（まいしん）して参ります」とコメントを発表した。

■大学院を中退、23歳で数理研助教｢圧倒的なプレゼンス｣

　山下さんは現在、京大理学部数学教室に所属。高校生の時、国際数学オリンピックで銀メダルを獲得し、東京大に入学した。

　3年の時に東大大学院に飛び入学し、博士課程を5カ月で中途退学し、23歳の時に京大数理解析研究所の助教に就任した異色の経歴だ。

　昨年博士号を取得し、論文は現在13本。

　21年に日本数学会賞建部賢弘奨励賞を受賞。22年、若手女性科学者に贈る「羽ばたく女性研究者賞（マリア・スクウォドフスカ=キュリー賞）」の第1回最優秀賞に選ばれ、「圧倒的に学術的プレゼンスが秀でている」と絶賛された。

　シンガポールの科学誌が発表した今年の「アジアの科学者100人」にも選ばれている。

　マリアム・ミルザハニ・ニューフロンティア賞は、イラン出身の数学者マリアム・ミルザハニさんにちなむ。

　高校生の時に国際数学オリンピックで2年連続で金メダルを受賞して注目されたマリアムさんは、幾何学が専門で、14年に「数学のノーベル賞」と呼ばれるフィールズ賞を女性として初めて受賞。17年にがんのため40歳でこの世を去った。


【以下転載２】

https://www.jps.or.jp/books/gakkaishi/2020/04/75-04_210researches1.pdf
｢Atiyah‒Patodi‒Singerの指数定理―素粒子･物性･数学の交叉点｣

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　日本物理学会誌Vol.75,No.4,2020

・ドメインウォールフェルミオン：
(下図はそのイメージ)｡

　添付図３