Brothers Foreverコミュのヤニーさんより　先週の数学のノート

§１：基本原理

和の原理
　２つのことがらA,Bがあって、これらは同時には起こらないとする。
　Aの起こり方がa通り、Bの起こり方がb通りあるとすれば、
　A,Bいずれかが起こる場合の数は、
　a+b通りである。

積の原理
　二つの事柄A,Bがあって、Aの起こり方がaとおり、Bの起こり方がｂ通りあるとすれば
　AとBが共に起こる場合の数はa×b通りである。

　例）コーヒーが3種類、紅茶が2種類あるとする。
　　?コーヒーか紅茶のいずれか1種類買いたい。
　　　何通りの購入方法があるか？
3＋2＝5(通り)
　　?コーヒーと紅茶をそれぞれ1種類ずつ買いたい。
　　　何通りの購入方法があるか
3×2＝6(通り) //

順列
　n個の相違なる要素からk個の要素を取り出して、1列に並べた物を順列という。(n≧k）
　この順列の総数をnPkと記すと、
nPk=n(n-1)(n-2)......(n-k+1)

　例）a,b,cの3人でリレーの走る順番をきめる。
　　　その決め方は何通りあるか。
3P3=3*2*1=6(通り) //

　例）野球チーム12人で、打順の組み方は何通りあるか(補欠3人)
12P9=12.11.10.....5.4=79,833,600 //

組み合わせ
　n個の相違なる要素からk個の要素を取り出してできる集まりを組み合わせという。
　この組み合わせの総数をnCkと記すと、
nCk=n!/k!(N-k)!=n×(n-1)...(n-k+1)/k!

　補足：nが整数のとき
n!=n×(n-1).......2×1
0!=1

　例）5人のうちから2人のリレー選手をきめる。
　　　決め方は何通りあるか
5C2=5×4/2×1=10(通り)

　例）セ･リーグで1回ずつ総当たり戦を行う。
　　　何試合行われるか。
6C2=6×5/2×1=15(通り)

　注：組み合わせにおいて
　　　選ばれたk個の選び方まで考慮すると、順列になる。

1/28　の数学方法

２、各結果が同等に起こりやすい場合の確率
　　ある事柄が起こる場合の数/起こりうるすべての場合の数
　　例：サイコロ

例）公平なサイコロを4回投げて、ちょうど2回「６」の目が出る確率。
　　5の二乗×4C2/6の４乗＝５二乗/６の３乗＝約１１％

例）男性６人、女性４人から委員をランダムに５人選ぶ。
　　（a)選び方は何通りあるか？
　　　　10C5=10×９×８×７×６/５×４×３×２×１＝２５２通り

　　（b)ある男性Aさんが選ばれる確率。
　　　　1/2 9C4/10C5

(c)選ばれる委員の男女比が全体の男女比に一致する確率。
　　　　6C3×4C2/10C5=20×6/252=10/21

例）人がn人集まっている。　　
　　この中に同じ誕生日の人がいる確率。

　　n人すべての誕生日が異なる確率＝365×364×363.....(365-n+1)/365のn乗

例）ポーカーの役（ただしジョーカーなし、取替えなし）
　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　５２枚のカードから５枚をランダムに選ぶ。
　　選び方の総数は、52C5=2598960

1)ワンペア　n1=13×4C2×12C3×4の二乗＝1098240=0,422569 　約４０％
ペアの点数×ペアのマーク×ほかのカードの点数×ほかのカードのマーク
2)ツーペア　n2=13C2×4C2の二乗×11×4=123552=0.047539 　　約４％

　　3)スリーカード　n3=13×4C3×12C2×4の二乗=54912=0.0211285 約２％

4)ストレート　n4=10×4の二乗-(n8+n9)=10200=0.0039246 約０．３％

　　5)フラッシュ　n5=4×13C5×-(n8+n9)=5108=0.0019654 約０．２％

　　6)フルハウス　n6=13×12×4C2×4C3=3774=0.0014405 約０．１５％

　　7)フォーカード　n7=13×１２×4×624=0.0002401 約０．０２％

　　8)ストレートフラッシュ　=9×4=0.0000139

9)ロイヤルストレートフラッシュ　=4=0.0000015

10)ぶた　=0.5011774 約はんぶん。