たけしのコマネチ大学数学科コミュの2006.6.22第10回方針

単純にN回まいたとして
１回巻きが4πcmとして
t回巻きがπ(4+((11-7)/N)t)cm
N回巻きが11πcm
になるように巻きつける方針を採った
つまり数列の和の計算をしただけ

コメント(17)

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私はロールの一部をＣの字の様にカットして台形にし、台形の面積を長さで割って紙の厚みを計算する事で枚数を求める方法をとりました。
これも等差数列の和と考え方は同じですね。

台形を作るという発想の台形はほんとにだいけいなんでしょうか？
僕のやり方も台形になったいると思うのですが、実際には違うような気がします
僕の内に買い置きしておいたトイレットペーパーは3分の2おきに切れるように切れ目がありました
あと円と長方形の面積の一致の等式も疑問でいっぱいです
現実は長方形にならないので
僕の計算に出てきた-1が出てきて計算より少しすくなるような気がします
2分の1ごとにするともっと巻きかずが少なくなる計算結果が出ました

[3] mixiユーザー 06月29日 04:00

　初めまして。紙の厚さが均一という前提で上底と下底は平行となりますので台形に間違いありません。この台形を長方形にすると11.4*15π/2というティッシュとなり、分かっている60mを15π/2cmで割ると厚さを無視して枚数が分かると思うのですが、これでは発想が貧困なのでしょうか。

[4] mixiユーザー 06月29日 14:31

n枚目とn+1枚目の長さの増し分と
n+1枚目とn+2枚目の長さ増し分が
同じであることは証明できますか？

まずはこれを解いてみてください
台形である前に四角形の証明が出来ていません
4辺が直線であることの証明は出来ますか？

これが出来ないと台形とはいえません
僕は問題を解く上で自分で条件設定をしましたが
果たしてこれが正しいのかよくわからなくなっています
紙の厚さが一定なら
と考えても
髪が曲がっているのでいってと考えにくいのが現実です
長さは1次元なので外側に一定の長さづつ張り出せば長さの増し分は等しくなりますが
面積は2次元なのでそんなに簡単にいく話ではありません
外側に行くほど単位体積が大きくなるので
円の面積＝長方形の面積
又は
円柱の体積＝薄い長方形の体積
とやると
微小な誤差が出るはずです

今回の解説で話さなくてはいけないことは
この論法は誤差を無視しているということです
これより小さいという目安を出しただけということです

[5] mixiユーザー 06月29日 15:19

上図の青い部分が誤差になるということですか？
紙に厚みがある以上、外側の長さと内側の長さが異なる事も解ります。
そもそも、問題文で筒の大きさ4cm、ロールの大きさ11cm、ロールの長さ60mとしています。
ここにも既に誤差は存在するのです。

今回はいかにスマートに近似値を出すかではないのでしょうか？

[6] mixiユーザー 06月29日 16:12

近似値でOKです
番組は近似値といっていなかったのでは？
数列を使った解法はそこまで考慮しているので
大学生はこっちでやってくれるほうが数学としては面白かったのではないかと思います

スマートである必要性にも疑問ですね
この考えには何が考慮されていないとか
自分の使った考えの証明がされていないので、ただ出したに過ぎないのがつまらなさの根源です

[7] mixiユーザー 06月29日 17:31

　この図形の左下の点をoとする1次座標を考えていかがでしょうか。x軸を半径rとするとy座標は円周/2となり、直線であることが証明できるかと思います。

[8] mixiユーザー 06月29日 18:36

>思います
では駄目です
論証してみましょう
どの話をしているのかがはっきりしていません

[9] mixiユーザー 06月29日 19:08

台形にすると誤差が出るとか出ないとかおっしゃっているようですが、ドーナツ状の面積を、それが台形の面積で置き換えられるかをちょっと調べてみました。

1.ドーナツ状の面積
　外側の円(半径11cm)の面積－内側の芯の部分(半径4cm)の面積
なので
　11*11*π-4*4*π ＝ π*(11*11-4*4) ＝ π*(11+4)*(11-4)
になります。

2.開いたときの台形(と仮定して)の面積
　( 上底(内側の円周)+下底(外側の円周) )*高さ(半径11cm-内側4cm) ÷2
なので
　(2*4*π+2*11*π)*(11-4)÷2 ＝2*(4*π+11*π)*(11-4)÷2 ＝(4*π+11*π)*(11-4)
　=π*(11+4)*(11-4)
となります。

もし、切り開いたときに台形でない(現実としては微妙に階段状になっているから台形とは言えないでしょうけど)と仮定しても、それを台形とみなして、台形の面積の公式をあてはめても問題ない、ということになります。
ここで、台形に置きかえても面積云々は問題ないという話に置きかえられることで、この台形を2つくっつけて長方形にし、高さと長さから枚数を出せる、というように話を簡単にしています。
#偶然だ、とおっしゃるのであれば外側の径をa、内側の径をbとして、文字式で計算してみると良いと思います。
この辺を少し放送で補足しておいてくれると良かったかもしれませんね。

[10] mixiユーザー 06月29日 20:01

ん？
円の面積の公式間違ってないか？
円の面積＝半径×半径×Π
だよ。
半径=5.5と2
(5.5*5.5*Π)-(2*2*Π) = (30.25Π)-(4Π) = 26.25Π

台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷２
上底=4、下底=11、高さ=(11-4)÷2
(4Π+11Π)×((11-4)÷2)÷2 = 15Π×7÷4 = 26.25Π

どちらも同じですね。

[11] mixiユーザー 06月29日 20:19

私の書き込みがバラバラに存在するので、ここにまとめます。

【台形の面積による解法】
(4Π+11Π)*3.5/2 = 26.25Π[cm^2]
ロールの長さは60mなので、厚みを計算すると、
26.25Π/6000 = 0.004375Π[cm]
となる。※この計算をここでする必要はない。
台形の高さを厚みで割れば何回巻きか解るので、
3.5/(26.25Π/6000) = 800/Π ≒ 254.648[巻]

【等差数列による解法】
初項a=4π、末項l=11π、項数nの等差数列の和が60*100=6000
項数（初項＋末項）÷２
が等差数列の和ですね。
n(4π+11π)/2 = 6000
n = 6000*2/15π = 800/π ≒ 254.648[巻]

[12] mixiユーザー 06月29日 20:29

＞knifeさん
>円の面積の公式間違ってないか？
>円の面積＝半径×半径×Π
11cmとか4cmの値を半径だと思っていました。すみません。

[13] mixiユーザー 07月01日 14:14

＞タナQ
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=8036773&comm_id=816042

ここの２の問題はやりましたか
そしてこの問題が解ければ
台形であることが証明できますが
それをやらずにいきなり台形というのはおこがましいです
実際には内側へ行くほど髪は薄くなるので異臭の長さの増加率が一定と考えるのはあっているのか間違っているのかが分からないんですよ
単位あたりの面積は中心から遠くなるため
増加率が増すというのは直感で分かってもらいたいところなんですが…

[15] mixiユーザー 07月03日 04:32

>ぜるく
上のコメントに対しては
別の場所で議論しているのでそこを見てからのコメントをしてください

僕がルールをきちんと作ってないのも悪いのですが
全部を読んでからの書き込みをしてもらいたいと思います

中途のところでコメントをするのはやめてください
どこかに必ず議論してあるはずなのでそこをコメントする形で発展させてください

特に例題を立てた時はそちらのほうへの書き込み方向性の拡張をしてください

他を読まずに一部に対するコメントをするのは失礼です

[17] mixiユーザー 07月04日 12:02

＞ぜるく
そうです
そんなに時間がかかる問題ではないと思います
やってみてください

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