たけしのコマネチ大学数学科コミュの2006.6.22第10回管理人はこう解いた

4π＋π(4+(7/N)*1)+π(4+(7/N)*2)+…+π(4+((11-7)/N)t)+…
+11π
=60*100

左辺＝4π(N+1)+π*(7/N)*(N*(N+1)/2)
＝π*(15/2)*(N+1)
＝60*100
N=(800/π)-1
=254.77-1

テレビの答えより小さくなっている？

コメント(18)

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[1] mixiユーザー 06月27日 21:04

初項a=4π、末項l=11π、項数nの等差数列の和が60*100=6000

項数（初項＋末項）÷２
が等差数列の和ですね。

n(4π+11π)/2 = 6000
n = 6000*2/15π = 800/π

[2] mixiユーザー 06月29日 14:45

この数列の正しさの証明をしてみましょう

形を変えた問題
今球状の物体の上にいます
身長１８０ｃｍの彼氏と身長１６０ｃｍの彼女の頭のてっぺんを通り表面と平行の線分の長さの差は何センチでしょうか？

これが解ければ番組の答えが間違っていた
もしくは
番組の答えはこの大きさより小さいという値
ということが理解できます

この問題は代数による処理をしないと誤差を含む値になり求めた値が大きな値になります

[3] mixiユーザー 07月01日 13:39

五月蠅いさん＞

私も同じ値になりました。
番組の中でも言っていましたが、π＝３．１４で計算すると、答が少し大きくなってしまうらしいです。

[4] mixiユーザー 07月01日 13:43

↑
ああ、”-1”がありますよね。何故なんでしょう。

[5] mixiユーザー 07月01日 14:03

等差数列の和の計算で４Πから11πまでをN等分した時の和の計算で出てくる初項の残骸みたいなものです

実際はN＋α回転するとして
Nを整数という縛りを書けた上で
60*100=4π*(N+1)+π((11-4)/N)*(((N-1)*N)/2)+11π*(α/360)
とした式を解くべきでした
実際のトイレットペーパーは3分の2くらいずつで切れるようになっているので
N→(3/2)*N
にした立式をすべきでした

[8] mixiユーザー 07月04日 22:15

ぜるくさんの６の書き込みの内容であってます
これは秋山仁氏が毎年どこかでやっている問題のひとつです
円周は半径の長さの1次元の値なので巻きかずと長さは整数で表現されるので等差数列となります

では円の面積の一部はどうでしょう？
簡単な微積分の知識で分かる問題だと思いますが、考えてみる余地はあるでしょう
面積は半径の2次元で表される値なので
書き込み２の問題の続きで
2人の視野の違い
とかを考えたりすると
その差は2次式で表現されるため
1次式のものとは増加率が異なると思います

連続関数ではないですが
この辺の視野で考えてみると
等式の立て方
にどうしてその式を立てたのか？
を考えてみることの重要さが際立つと思います

[10] mixiユーザー 07月05日 14:25

ぜるくさんの前提だとその通りです

一般の円の方程式を立てて考えると異なります

特にこの問題では紙が連続して繋がっているので、我々のように同心円と考えるのが、おこがましいのですよ、

だから面積や体積を持ち出すこと自体に違和感を感じるんですよねぇ

僕は紙の厚みを無視して考えたのには紙が
渦巻状
になっていることへの違和感が付きまとっていたのでこの方針は捨てたのですが

数学でなく
物理学の問題としてこの問題があるべきであるような気がします
そうすれば紙の厚みが一定っていうバカな条件を信じないと思うのですが

あとトイレットペーパーは２重巻きじゃないんですねぇ？

[11] mixiユーザー 07月05日 15:19

この問題はそもそも円柱形も円も元々出てくるわけではないので
トイレットペーパーでも糸巻きでも本質は変わらないような問題であると思います

毎回感想で書くことですが
その場しのぎの発想
今回でいえば面積を導入してみよう
というのは、その人の人生でやってきたことのあるべき方針
普通の考え方
その人の生き方ならその方針を解くであろう説き方
を反映してないので、この問題を解いたからって次に繋がる物は何も残らないんですよ

今の学生だったら
コンピュータだったり統計による解析に持ち込むのであろうから
どんな問題でも必ず解析に持ち込む
方針を採ってもらいたい
と思う気持ちがあります

特に等式を立てることは実は難しい
ことに気づきてほしいですねぇ

[13] mixiユーザー 07月05日 22:54

仮にトイレットペーパーの芯に巻き付いている物が固まらない紙粘土だとして体積で計算してみよう。

この紙粘土を幅x[cm]、奥行き60[m]、高さは十分ある容器に一定の高さに詰めた高さをy[cm]とします。
すると、以下の等式が成り立ちます。

5.5*5.5*x*Π - 2*2*x*Π = 6000*x*y

全ての項に幅xが含まれています。
これが幅を無視しても良いという理由ですよね。

5.5*5.5*Π - 2*2*Π = 6000*y
26.25Π = 6000y
y = 26.25Π/6000 = 7Π/1600

次は紙粘土トイレットペーパーを厚みを3.5cmの一巻きとイメージします。
つまりＣ型に紙粘土をカットしてしまう作業です。
今度は幅x[cm]、奥行き3.5[cm]、、高さは十分ある容器に一定の高さに詰めた高さをz[cm]とします。

5.5*5.5*x*Π - 2*2*x*Π = 3.5*x*z

これも全ての項に幅xが含まれています。

5.5*5.5*Π - 2*2*Π = 3.5*z
26.25Π = 3.5z
z = 26.25Π/3.5 = 105Π/14

さて、ここでトイレットペーパーから箱に入ったティッシュだとイメージを変えてみましょう。

xをティッシュ箱の内側の幅、
zをティッシュ箱の内側の奥行き
3.5cmをティッシュ全ての厚み
yをティッシュ一つの厚み
だと思って下さい。
さて何枚のディッシュが入っているでしょうか？

3.5/y = 3.5/(7Π/1600) = 800/Π

xやzは枚数の計算にはまったく使われませんでした。
こんな感じでどうでしょうか。

[14] mixiユーザー 07月07日 09:55

＞ぜるく
一番明確な話をすると
トイレットペーパーは渦巻状なんですよ
1まき単位で物を捕らえるのはバームクーヘン状なんですよ

いかにして実物に近づけるか？を徐々に考えていく方向での議論を期待しているため、コミュニティーの方針であったり、進め方を見せたりしてきましたが
このコミュニティーの議論自体が番組の設定などは鼻から無視している次元で物を考えているので
紙の厚さは一定かどうかなんて問題はないんですよ
むしろ芯へ紙を巻きつけるときに一定になっているかの証明をしてくれる方が僕は期待しています

第10回で考えるなら
バームクーヘンとトイレットペーパーの違い
とか
ミルフィーユとバームクーヘンの違い
とか
を議論して欲しいですね

管理人

[15] mixiユーザー 07月07日 12:13

厚みが一定という事を考えて図を描いて見ました。

厚みをa[cm]とし、
0[度]から最短距離を通って渦を巻くとし、
赤線までの角をr[度]とする。(r>270)
一周目、青線の様に段差を直線で結ぶ
二周目、青線と平行に青線が同じ長さになる
つまり赤線と緑線は平行
緑線を抜けると紫円弧となる

この方法で計算をして
内周が60mに達するのは何周目
外周が60mに達するのは何周目
もしくは(内周+外周)/2が60mに達するのは何周目
等を計算すればかなり厳密だと思いますが如何でしょうか？

[16] mixiユーザー 07月07日 14:12

厚み[cm]　0.013744468　=7*PI()/1600
青線の長さ[cm]　0.234876099
角r[度]　353.3019753
として
Excelで計算させてみると、6000[cm]付近では
内径では
　254[巻]　5966.932419[cm]
　255[巻]　6001.435056[cm]
外径では
　254[巻]　5988.867615[cm]
　255[巻]　6023.456611[cm]
となり、60[m]ではどちらを取っても255巻出来ず、254巻と端数となりました。
計算式に間違いが無ければいいのですが…。

[17] mixiユーザー 07月13日 19:29

ちょっと思った事があるんですけど、いいですか？

もしも、
t回巻きがπ(4+((11-4)/N)*t)cm…?
であるとすると、
(t-1)回巻きでは、π(4+((11-4)/N)*(t-1))cm…?
(t+1)回巻きでは、π(4+((11-4)/N)*(t+1))cm…?
となり、
ここで、?-?=?-?=π(4+((11-4)/N)
となるので、やっぱり、等差数列ではあると思います。
そうすると、台形で考えても問題ないはずですよね。

それで、五月蠅いさんの解答に立ち返らせて頂くと、
「4π＋π(4+((11-4)/N)*1)+π(4+((11-4)/N)*2)+ …
+π(4+((11-4)/N)t)+ … +11π
=60*100」

この場合、
1巻目は、4π cm　という風に考えられている筈ですので、
2巻目は、π(4+(7/N)*1) cm
3巻目は、π(4+(7/N)*2) cm
…
とやっていく場合、
t巻目は、π(4+((11-4)/N)*(t-1)) cm
となり、
(t+1)巻目が、π(4+((11-4)/N)*t) cm
となるような気がします。
そうすると、
Ｎ巻目は、π(4+((11-7)/N)(N-1)) cm
となり、これでは「＝11π」とはなりません。

どうも、式の立て方が少し違っている気がします。

1巻目は、4π cm（=π(4+((11-4)/(N-1))*0) cm）　とした場合。
2巻目は、π(4+((11-4)/(N-1))*1) cm
3巻目は、π(4+((11-4)/(N-1))*2) cm
…
という風に考えてみると、
t巻目は、π(4+((11-4)/(N-1))*(t-1)) cm
となるような気がします。
そうすると、
N巻目は、π(4+((11-4)/(N-1))*(N-1)) cm
= π(4+(11-4)) = 11π　となり、矛盾しません。

これを、解くとどうなるでしょうか。

あるいは、逆に

1巻目は、既に、紙一枚分の厚さがあるので、
π(4+((11-4)/N)*1) cm
という風に考えるとすれば、。
2巻目は、π(4+((11-4)/N)*2) cm
3巻目は、π(4+((11-4)/N)*3) cm
…
という風に考えてみると、
この場合は、
t巻目は、π(4+((11-4)/N)*t) cm
となり、
そうすると、
N巻目は、π(4+((11-4)/N)*N) cm
= π(4+(11-4)) = 11π　となり、やはり、矛盾しません。

このいずれかを足した和が、60*100になれば、
良いのだと思いますが、如何でしょうか？

[18] mixiユーザー 07月14日 13:35

簡単に言うと最後が完全に一巻きとなる訳ではないからではないんでしょうか

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