Snohomish County のライブラリでは無料でコンピュータが使えます。もちろんインターネットにもつながっています。ただ日本語の読み書きはおそらくできないでしょう。ソフトのインストールもユーザー権限ではできないようになっているので,日本のご家族と連絡をとるのであれば Mixi に頼らずウェブメールなどを使い,ローマ字でメールを書くのが得策だと思います。
私もSnohomish County 図書館に行ったほうが一番いと思いますが、Everett Community Collegeで学生さんじゃなくても無料で使うところもあると思います。Nippon Business Instituteといところもありまして、そこで必ず日本語で書くことができます。あそこにいる日本語の先生に聞いたら、世話になると思います。