数学専攻の人コミュの使われるのに語られない内積の意味

内積をなぜ使うのか。

こんな当たり前の疑問も、大学教育の中ではほとんど語られない。

しかも考えてみると意外と難しい。

内積が定義されると、ベクトル空間に距離関数が定義でき、距離空間になる。

そのことの持つ意味は一般幾何学で大いに展開されうる。

私がここで投げかける注目点は、次のとおりである。

与えられたある内積（　、　）に対して、共にnonzero で独立なベクトル　a, b で

（a, b） = 0 、を満たすものは常に存在し得るか。

つまり内積＝０、　という等式が成立する可能性は、内積のどの性質とかかわっているのか、

ということ。

この問いにはSchmidtの直交化法が答えてくれていました。

結果は、

a ≠0, b ≠0 ( b ≠ka)　（k: real number)

⇒

( 　　　 a 　　 , b 　- ( (a,b)/(a,a)　)・a　　） = 0

ここで内積は、ベクトルｂを

ベクトルaと、aと内積をとるとゼロになる方向とに

分解する役割を果たした、

ということが結論される。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 12月15日 16:53

positive definite　が要求するもの：

正定値が求めている意味、これもちょっとわかり辛い。

ベクトル空間はどんな内積に対しても、正規直行基底が存在する。

その正規直行基底に対して、内積は　a = (a_i) ,b = (b_i) に対して、

（　a , b ) = (a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + ・・・・・　+ (a_n)(b_n)

であるから

（　a, a ) = (a_1)^2 + (a_2)^2 + ・・・・・ + (a_n)^2

この右辺は実数の性質より正。

一般に内積の値は、基底に依存しないので、どのような基底でベクトルが表現

されていても、（　a, a ）の値は一定。

上で正規直行基底に対する（　a, a ）の値が正であるから、

このことに矛盾しないように内積は定義されなければならない。

つまりpositive definite が要求されないと、

実数の性質に矛盾してしまう。

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