数学専攻の人コミュの解の一部分を指定された場合の最適化問題

はじめまして，
一つの最適化問題を考えていますが，なかなか解けないので，みんなに聞きたいです．
この問題の解決方法が知ってる人がいますか？ぜひ教えてください．

問題：
u = x1^2+x2^2+x3^2+....+xn^2 -> min
s.t. A*X=B　（Aは(m*n)マトリクス，Xは[x1,x2,x3,...,xn]^T, Bはベクトル, n>mのため，冗長問題）
x1,x2,x3,...,xn >=0
x1がある一定の値になるため，x2...xnとBの導出方法．

難しいところ：
この問題について，Bが一定となる場合はxの最適値を求めるのはいろいろな最適化計算方法で導出できます．それらの値はBの設定により変化することができます．
私はx1をある自分が欲しい値になるようなBを探したいです．Bを探しながら，Xが上の最適化問題の最適解であることを満たさないといけないことはこの問題の難しいところと思います．

補：
* あるx1が発生できるBの値は無限にあると思いますが，ところでひとつの解にするため，さらに最適方法を利用すると思います．たとえばBのnormを最小化にするとか，Xのnormを最小かにするとか．

コメント(3)

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[1] mixiユーザー 12月12日 10:11

簡単な問題でn=2,m=1 の場合を考えましょうか．．．
min u=x^2+y^2
s.t. 3 x + 4 y = b
x,y >= 0

y=10 を要求します．
問題は次のように変わります．
min u=x^2+100
s.t. 3 x =b-400
x,y>=0

ここで少なくとも b >= 400 であることが確定します．
(x,y>=0なので）
目的関数は x^2+100 を最小化したいので x はできるだけ小さい方が良いです．
なので b=400とするべきでしょう．
min u=x^2+100
s.t. 3x=400-400 (x=400/3)
x,y>=0

y=100 と要求した場合， b=400,x=400/3 そのときのu=700/3

もし，b>=400 に応じてそれぞれxとmin u を求めたいという話ならば，
b を固定した話に帰着するということになります．

変数が増えると少し大変になりそうですが，n=3,m=2 のケースで練習すれば
一般のケースに拡張できるのではないでしょうか．

[2] mixiユーザー 12月12日 10:38

すみません,
具体的な数学の問題に関する質問トピックを立てるのは
ご遠慮ください.

管理人

[3] mixiユーザー 12月12日 21:52

> 管理人
すみません。今度から注意します。

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