物理学コミュの垂れたヒモが描くグラフが・・・

コミュニティに入って初めて投稿させていただきますｍ(_ _)ｍ

前まで通っていた高校で、空中でたるんでいるヒモが描くグラフが1/2(e^x+e^(-x))になると聞きました。

出来れば、高校数学、高校物理の範囲でこの証明をやってみたいのですが、出来るのでしょうか。

自分は、

１、重さｍ[kg]、長さ2Ｌ[m]のひも

２、１のヒモを(2ｎ-1)個の重さm/(2n-1)[kg]の重りがL/n[m]ごとに配置されている紐と仮定。

３、小さい重りの間は直線と仮定。

という考え方をしました。

垂れ下げて居る状態では重りひとつにかかる力は吊り合っているので、

真ん中の重りから数えてk個目の重りにかかる力がわかれば、

(k+1)個目の重りにかかる力（ベクトル含め）がわかるはずです。

なので、k=1のときの力を定数でおくと、ベクトルのおかげでｋ個目のｘ座標、ｙ座標をｋとｎで表せます。

そしてｎを無限大に飛ばすと、一行目に書かれた式を表す媒介変数が出てくるのではないか、

と思っていたのですが、中々計算式が複雑すぎてうまくいきません。

一行目の式を得るうえで、バネ定数を加えるべきか、とか、nを無限大に飛ばす段階が早すぎる、などの

間違いや、初期条件の不足があれば教えてほしいです。お願いしますｍ(_ _)ｍ

コメント(8)

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[2] mixiユーザー 03月20日 10:35

紐の線密度をρ　曲線をｆ（ｘ）とする。

ｘ～ｘ＋Δｘ　の微小部分での水平方向・垂直方向の力の釣り合いを考えると微分方程式は出来ます。そこから、1/2(e^x+e^(-x))を導くには数学的テクニックがいりますが、1/2(e^x+e^(-x))がその微分方程式を満たすことは容易に出来ます。

微小部分に掛かる力は、両端部分にその接線方向から受ける力と重力。

水平方向の釣り合いは、両端から左右に同じ大きさの力が掛かるから、これをＴとする。

垂直方向の釣り合いを考える。

両端に掛かる力は、上向きを正とすれば、向きが接線方向になることを考慮すると

－Ｔ・ｆ’（ｘ）　と　Ｔ・ｆ’（ｘ＋Δｘ）　となる。

重力は、－ρｇ√（１＋［ｆ’（ｘ）］^2）Δｘ

これらが釣り合っているから、

Ｔ・ｆ’（ｘ＋Δｘ）－Ｔ・ｆ’（ｘ）－ρｇ√（１＋［ｆ’（ｘ）］^2）Δｘ＝０

ここから、Ｔｆ’’（ｘ）＝ρｇ√（１＋［ｆ’（ｘ）］^2）

で、微分方程式が完成。ざっとやったからどこかで間違いがあるかも知れないですが、概ねこんな感じです。

[3] mixiユーザー 03月20日 10:42

懸垂曲線（カテナリー）のことですね。
これだけは高校の物理の範囲では無理なようです。

変分法，解析力学で出てくるからです。でも，数学は積分がわかれば理解できますよ。
以下のサイトがわかりやすいです。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/node48.html

[4] mixiユーザー 03月20日 11:57

>積分定数さん

>「公式は覚えるな！」と主張する、数学を“教えない”塾です。

痛く感動しました