岡山大学理学部数学科！コミュの解ける方いらっしゃいますか？

次の２変数関数ｆ：Ｒ2→Ｒでの
?点(0，0)で連続であるか？
?点（0，0）で偏微分可能か？
?点（0，0）で全微分可能か？

ｆ（ｘ，ｙ）＝√ｘｙ　　ルート　ｘｙ

証明できる方、お願い致しますm(_ _)m

コメント(1)

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見つけたのが遅かったので、もうこの解答はいらないかもしれないですが、一応書いておきます。また、解答があっているかどうかは責任を負いかねるので、一応先生等に聞くなどしたほうがいいと思います。

?連続定義(R^2の時)：
fが点(0,0)で連続とは…

『任意のε＞0に対して、あるδ＞0が存在して
|√(x^2＋y^2)－0|＜δ　⇒　|f(x,y)－f(0,0)|＜ε』

(解答)
δ＝εとおくと、|√(^2＋y^2)|＜δ＝ε　ならば

|√xy|＜|2√xy|≦|√(^2＋y^2)|＜ε

よって連続

?偏微分の定義(R^2の時)：
fが(0,0)でxについて偏微分可能とは…

『∂f/∂x(0,0)＝lim(h→0) {f(0＋h,0)－f(0,0)}/h の値が存在する』

(解答)
∂f/∂x(0,0)＝lim(h→0) {f(0＋h,0)－f(0,0)}/h

　　　　　　＝lim(h→0) {0－0}/h

　　　　　　＝0

よって極限が存在したので、点(0,0)でxについて偏微分可能。
yについても同様にいえる。

よってfは点(0,0)で偏微分可能

?全微分可能の定義(R^2の時、ただし、本来の定義を書き換えたもの)：
fが(0,0)で全微分可能とは…

『lim{(x,y)→(0,0)} [f(x,y)－f(0,0)－{∂f/∂x(0,0)}(x－0)－{∂f/∂y(0,0)}(y－0)]/√{(x－0)^2＋(y－0)^2}
＝0　となる』

lim{(x,y)→(0,0)} [f(x,y)－f(0,0)－{∂f/∂x(0,0)}(x－0)－{∂f/∂y(0,0)}(y－0)]/√{(x－0)^2＋(y－0)^2}

＝lim{(x,y)→(0,0)} √xy/√(x^2＋y^2)

ここで、x＝rcosθ,y＝rsinθとおくと、

＝lim(r→0) r√sinθcosθ/r

＝lim(r→0) √sinθcosθ

≠0 (極限の値はθによるから)

よってfは(0,0)で全微分不可能

以上です。色々数学科は大変ですが、頑張ってください。

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