H22年度基礎工情報科学科！！コミュの【演習の先生は】解析【麻原彰晃の生まれ変わり】

俺のところにある解答をこっちで整理して貼っていきます。
今後の更新はこっちでやります。

コメント(15)

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1:教科書P6 例2を参照
2:
an+1/an -a < ε (∀ε>0,n>N)
∴an+1<(ε+a)an
n乗根(an)<n乗根((ε+a)an-1)<n乗根((ε+a)^2 an-2)<・・・<n乗根((ε+a)^n a1)=(ε+a)n乗根(a1)
∴n乗根(an/a0)-a<εとなり
lim(n to inf) n乗根(an/a1)=a
lim(n to inf) n乗根(a1)=1なので、
lim(n to inf) n乗根(an)=lim(n to inf) n乗根(an/a1) * lim(n to inf) n乗根(a1) =1*a=a

[2] mixiユーザー 08月03日 00:19

[3] mixiユーザー 08月03日 00:20

4(a):
連続
(b)
f(x)=(x-3)(x-2)/(x-2)(x+2)=(x-3)/(x+2)
lim(x to 2)f(x)=-1/4
f(2)=0より不連続
(c)
lim(x to 2)f(x)=f(2)=-1/4より連続
(d)
lim(x to +0)f(x)=1
lim(x to -0)f(x)=-1
f(0)=0
より不連続
(e)
|x-0|=δとし
|f(x)-f(0)|=|x^2/|x|-0|=|x|
ε=2δとすると
|f(x)-f(0)|<ε
よって連続

[4] mixiユーザー 08月03日 00:22

6(a):
{（1+sin）^1/sin}^sin/xに変形する。（1+x）^1/x→e（x→0）の形になってるので、答えe
(b):
1/2 （高校範囲。有理化して終り）
(c):同様に、（）の中身と同じべき乗になるように変形する。
答えe
(d):
=lim(x to 0)(sinx/x)^3*1/cosx*1/(1+cosx)=1/2
(e):
=lim(x to 0)(a^x*loga-b^x*logb)/1=log(a/b) (ロピタルの定理）
(g):
arcsinの微分は1/(1-x^2)^1/2
これを使って気合いでロピタル
三回ロピタるといけるはず
(h):
=lim(x to inf){a^(1/x)-1}/(1/x)=lim(x to 0)(a^x-1)/x=lim(x to 0)a^xloga/1=loga （ロピタルの定理）
(i):
通分してロピタル。４回ロピタると-1/3になる
(j):
対数とって一回ロピタる。(ab)^1/2
(k):
log{（1+1/x）^x}^logx/xに変形して極限。答え0
(l):
1（常識）
(m):
-1<=sin(1/x)<=1 ∴ -x<=xsin(1/x)<=x
lim(x to 0)±x=0 より lim(x to 0) xsin(1/x)=0
(n):
-1<=sinx<=1 -1/x<=(sinx)/x<=1/x
lim(x to inf)±1/x=0 より lim(x to inf) sinx/x=0

[5] mixiユーザー 08月03日 00:24

7(a):
とにかく微分しまくれ。
4階微分までやれば、一般形が-an*(sinx)(n)-bn*x*(cosx)(n)+x^2(sinx)(n)という形になっていることに気づく。
式を見ていくと、
a0=b0=a1=0,b1=2
an+1=an+bn ・・・1
bn+1=bn+2 ・・・2
という漸化式を立式できる。
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+・・・+(a1-a0)+a0
=2(n-1)+2(n-2)+・・・+2*1+n(a1-a0)+a0
=2Σ(k=1 to n-1)k + n*0+0
=n(n-1)
bn=an+1-an=n(n+1)-n(n-1)=2n

(b):
kを整数として
n=4kのとき
y(n)=(-4)^k*e^x*sinx
n=4k+1のとき
y(n)=(-4)^k*e^x*(sinx+cosx)
n=4k+2のとき
y(n)=2*(-4)^k*e^x*cosx
n=4k+3のとき
y(n)=2*(-4)^k*e^x*(cosx-sinx)
頑張って微分しまくる。

[6] mixiユーザー 08月03日 00:24

6(d)訂正
-1倍忘れてる。
たぶん-1/2になる。

[7] mixiユーザー 08月03日 00:25

8(a)
f(x)はx not= 0で連続なことは明らか。
-x^p<=x^p*sin(1/x)<=x^p
lim(x to 0)±x^p=0 (p>=1より）なので
lim(x to 0)f(x)=0
f(x)=lim(x to 0)f(x)よりf(x)はx=0で連続
(b)
f(x)はx not= 0で微分可能なことは明らか
lim(h to 0)(f(h)-f(0))/h=lim(h to 0) h^p*sin(1/h)/h=lim(h to 0)h^(p-1)sin(1/h)
p>=2のとき h^(p-1)sin(1/h) to 0 (h to 0)
p=1のとき h^(p-1)sin(1/h)=sin(1/h)
これは極限値を持たない。
よって微分可能となるpの範囲は
p>=2
(c)
x not= 0でf(x)を微分して
f'(x)=x^(p-1)sin(1/x)-x^(p-2)cos(1/x)
p>=3のときlim(x to 0)f'(x)=f'(x)=0となり連続なのでC1級となる
p=2のとき、f'(x)は極限値を持たない。
したがってC1級となるのはp>=3のとき。

[8] mixiユーザー 08月03日 00:26

9(a):
=root(a^2-x^2)+(-x^2/root(a^2-x^2))+a^2*1/root(1-x^2/a^2)*1/a
=root(a^2-x^2)+a^2-x^2/root(a^2-x^2)
=2root(a^2-x^2)
(b):
y=(a^x+b^x)^(1/x)として、
logy=1/x*log(a^x+b^x)
両辺をxで微分
1/y*dy/dx={1/(a^x+b^x)*(a^xloga+b^xlogb)*x-log(a^x+b^x)}/x^2
dy/dx={1/(a^x+b^x)*(a^xloga+b^xlogb)*x-log(a^x+b^x)}/x^2*(a^x+b^x)^(1/x)
(c):
1/root(1-y^2/x^2)*d/dx(y/x)=1/root(1-y^2/x^2)*(dy/dx*x-y)/x^2
=1/root(x^2-y^2)/(dy/dx-y/x)
(d):
1/(1+y^2/x^2)*(dy/dx*x-y)/x^2
=1/(x^2+y^2)(x*dy/dx-y)
(e):
=(1-2y/x+y)logy/x=log(y/x)^(1-2y/x+y)
∴1/(y/x)^(1-2y/x+y)*(y/x)^(-2y/x+y)*(dy/dx*x-y)/x^2
=1/y*(dy/dx*x-y)/x
=1/y*(dy/dx-y/x)
=1/y*dy/dx-1/x

[9] mixiユーザー 08月03日 00:26

10(a)
x=rcosθ y=rsinθとして
sin(r^2)/|r|(|cosθ|+|sinθ|)=sin(r^2)/r^2*|r|/(|cosθ|+|sinθ|) to 1*0=0 (r to 0)
(b)
X=x^2 Y=yとして
x^2y/(x^4+y^2)=XY/(X+Y)
X=rcosθ Y=rsinθとして
r^2*cosθsinθ/r(cosθ+sinθ) to 0 (r to 0)

[10] mixiユーザー 08月03日 00:27

13
Ur=Ux*dx/dr+Uy*dy/dr+Uz*dz/dr
Uθ=Ux*dx/dθ+Uy*dy/dθ+Uz*dz/dθ
Uφ=Ux*dx/dφ+Uy*dy/dφ+Uz*dz/dφ

頑張って計算すれば確かに成立
計算する気にはなれないので、各自で・・・。
ただの計算。

(右辺)
=(Uxsinθcosφ+Uysinθsinφ+Uzcosθ)~2+(Uxcosθcosφ+Uycosθsinφ-Uzsinθ)~2+(-Uxsinφ+Uycosφ)~2
=Ux~2sin~2θcos~2φ+Uy~2sin~2θsin~2φ+Uz~2cos~2θ+2(UxUysin~2θsinφcosφ+UyUzsinθcosθsinφ+‥
となるらしい。

[11] mixiユーザー 08月03日 00:27

14
x=rcosθ, y=rsinθとして
(1)lim((x,y) to (0,0))f(x,y)=lim(r to 0)r^2cosθsinθ/r=lim(r to 0)rcosθsinθ=0
よって連続
(2)lim((x,y) to (0,0))g(x,y)=lim(r to 0)r^2cosθsinθ/r^2=lim(r to 0)cosθsinθ
よって極限値がないので不連続
(3)lim((x,y) to (0,0))h(x,y)=lim(r to 0)r^2/rcosθ=r/cosθ=0
よって連続

これで、終わってないのは,5,11,12だけになりましたね。

[12] mixiユーザー 08月03日 00:40

12(a):
lim(h to 0)(f(h,0)-f(0,0))/h=lim(h to 0)(h*0*root(h^2+0)-0)/h=lim(h to 0)0*root(h^2+0)=0
lim(h to 0)(f(0,h)-f(0,0))/h=lim(h to 0)(0*h*root(0+h^2)-0)/h=lim(h to 0)0*root(0+h^2)=0
よって、x,yで偏微分可能。
Δf=f(h,k)-f(0,0)=ε*root(h^2+k^2)として
Δf=hk*sin(root(h^2+k^2))=hk*sin(root(h^2+k^2))/root(h^2+k^2)*root(h^2+k^2)より
ε=hk*sin(root(h^2+k^2))/root(h^2+k^2)
ここで、lim((h,k) to (0,0))ε=lim((h,k) to (0,0))hk*sin(root(h^2+k^2))/root(h^2+k^2)=0*0*1=0
よって全微分可能

[13] mixiユーザー 08月03日 01:25

lim(h to 0))(f(h,0)-f(0,0))/h=lim(h to 0))h|0|/root(h^2+0)/h=lim(h to 0))|0/h|=lim(h to 0))0=0
lim(h to 0))(f(0,h)-f(0,0))/h=lim(h to 0))0|h|/root(0+h^2)/h=lim(h to 0))0/h=lim(h to 0))0=0
よって、x,yで偏微分可能
全微分可能性がわからない。
できないような気がする・・・。

[14] mixiユーザー 08月03日 01:45

↑12(b)ね

11(a)
f(x.y)=与式として
fx(x,y)=fy(x,y)=0を解く。
解は(x.y)=(0,0).±(root2.-root2)
D=fxy(x,y)^2-fxx(x,y)*fyy(x.y)を計算し、D<0ならば極値を持つ
±(root2,-root2)でD<0より極値を取る。
(0,0)でD=0より個別に調べる。
f(x,0)=x^4-2x^2=x^2(x^2-4<0 (xが十分小さい時）
f(x,x)=4x^4>0 (x not=0,xが十分小さい時）
よって、f(0,0)は極値ではない。

[15] mixiユーザー 08月03日 01:52

11(b)同様にして頑張って。計算めんどい。
(c)
f(x.y)=x^2+y^2,g(x.y)=x^3-3xy+y^3 として、
f(x,y)-λg(x,y)をx,y,λで偏微分。それぞれ=0として方程式を解き、満たすx,yの組みを探す。
上と同じようにDの判定でD<0となれば極値となる

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