多面体が好きコミュの合同な面からなる凸多面体

正多面体は凸多面体のうち
1-1) すべての面が合同で
1-2) 面が正多角形で
2) どの辺においても二面角が同じ、
3-1) どの頂点においても集まる辺の数が同じ
3-2) 集まる面の角度の組合わせ
3-3) 集まる面の角度の合計が同じ、
という条件があり、全部で５種類あります。
条件をすこしリラックスさせるとどのようなものがあるでしょうか

コメント(19)

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[1] mixiユーザー 04月02日 06:34

2,3の条件をリラックスした場合、
1-2の正多角形は正三角形しかなく、
全部で8種類の凸デルタへドラがある
http://en.wikipedia.org/wiki/Deltahedron

[4] mixiユーザー 04月02日 06:53

1-2) 面が正多角形の条件を外すといろいろ出てくる
同時に「2) どの辺においても二面角が同じ」もくずれる

同じ面を持つ四面体はTetramonohedronと読んでいますが
平面で転がすと平面を埋め尽くすことができる(壁紙群P2と同じ)

また「直方体の８つの頂点のうち互いに隣り合わない４つの頂点を結んでできた四面体」と特徴付けできる
http://mathtrain.jp/tomen

特に体積も、各面の面積も、各辺も整数値をとるものはヘロンの四面体というそうな

計算しているひとがいる
https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20111207070138AAflS5d

[5] mixiユーザー 04月02日 07:25

Tetramonohedraでは以下の条件も崩れる
3-2) 集まる面の角度の組合わせが同じ
3-3) 集まる面の角度の合計が同じ

Rhombic disphenoidや、isosceles tetrahedron、equifacial tetrahedronなどとも言うんですね
http://en.wikipedia.org/wiki/Disphenoid

[6] mixiユーザー 04月02日 07:51

以下の条件からなる凸多面体は、正多面体からの変形で求めることができる
1-1) すべての面が合同で
3-1) どの頂点においても集まる辺の数が同じ

正四面体を変形したものはTetramonohedronで二次元分自由に変形できる
立方体を変形したものはTrigonal Trapezohedron、この変形には条件がありそう（どこかにまとまっていないか）
http://www.mathpuzzle.com/trapdihe.GIF
Mathworldには限定的な書き方があるけど限定しすぎではないか？
http://mathworld.wolfram.com/TrigonalTrapezohedron.html

[7] mixiユーザー 04月02日 07:58

正八面体を変形したものはTriangular Dihedron、この変形には条件がありそう（どこかにまとまっていないか）
http://www.mathpuzzle.com/tridihed.GIF
http://www.mathpuzzle.com/TriDihe.GIF

[9] mixiユーザー 04月02日 08:05

正二十面体を変形したものはこちらがまとまっている。Icosamonohedraと呼んでいる。
http://www.math.duke.edu/~ezra/Icos/icos.pdf
あとでちゃんと読みたい

[10] mixiユーザー 04月02日 08:27

6,7,8で画像を引用したサイト
合同な面からできる凸多面体のサイト。このサイトでは列挙はできていない。
http://www.mathpuzzle.com/Fairdice.htm
またFair Diceとかいているが
サイコロは投げたとき（toss）と転がしたとき（roll）では目のでる確率が異なるものがある
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/3288_v7.htm

[11] mixiユーザー 04月02日 21:52

正十二面体を変形したものはOctahedral Pentagonal DodecahedronとTetragonal Pentagonal Dodecahedronの二種類に変形ができる。
全ての頂点が同一球上に載る場合は前者は立方体に潰して一次元分、後者は正四面体に潰して一次元分動かせたはず。ここらへんを参照
http://arxiv.org/pdf/1009.2361v5.pdf

例：
http://www.mathpuzzle.com/octapent.GIF
http://www.mathpuzzle.com/tetpendo.GIF

[12] mixiユーザー 04月03日 21:22

正二十面体からすべての面が合同のまま変形できるパラメータ空間の図がある
Figure 26
http://www.math.washington.edu/~grunbaum/BG225.Acoptic%20polyhedra.pdf

[13] mixiユーザー 05月17日 07:04

すべての点が球上に乗る場合

Yukako Ueno and Yoshio Agaoka. Examples of spherical tilings by congruent quadrangles. Mem. Fac. Integrated Arts and Sci., Ser. IV, 27:135--144, 2001.
http://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/781/2014101612043354659/KJ00000197485.pdf

Yukako Ueno and Yoshio Agaoka. Classification of tilings of the 2-dimensional sphere by congruent triangles. Hiroshima Math. J., 32(3):463-540, 2002.
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/hmj/v32.3/P463-540.PDF

[14] mixiユーザー 05月17日 07:05

すべての点が球上に乗る場合で面が凹な四角形
http://www.math.tohoku.ac.jp/akama/stcq/

[15] mixiユーザー 06月13日 22:47

http://demonstrations.wolfram.com/ModuliSpaceOfShapesOfATetrahedronWithFacesOfEqualArea/

[16] mixiユーザー 11月13日 21:09

11の軸対象のある2N面体 (Trigonal Trapezohedron)をつくる
http://demonstrations.wolfram.com/StreptohedronAndTrapezohedron/

[18] mixiユーザー 06月29日 05:14

6,7はそれぞれ三角錐、四角錐を捻っってCSGでintersectして得られる
16であそべる。

javascriptでもつくったのでこちらをどうぞ
https://www.googledrive.com/host/0B-0akIz8Zlu4Z3ktLTJQRzk0Umc

[19] mixiユーザー 08月06日 03:36

http://loki3.com/poly/isohedra.html
将棋多面体ものっている
bilateral pentagonal icositetrahedron: 8p(0.4301597, 0.2451223).
This one is interesting in that the faces have bilateral symmetry, though it's different from the pentagonal icositetrahedron Catalan solid, which also has faces with bilateral symmetry.

その次の五角形はさらにおもしろい。凹のようでいて、凸なはず
equilateral pentagonal icositetrahedron: 8p(0.3456397, 0.03187700).
All the edges are the same length.

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