多面体が好きコミュの頂点座標の求め方について

みなさんこんにちは

多面体の頂点の座標の求め方について考えています。
正多面体5種類の頂点の座標は．．．

立方体→一辺１として（0.5,0.5,0.5）．．と求める
正四面体→外接する立方体の頂点から求める
正八面体→立方体の双対だから、立方体の各面の重心
正二十面体→3つの黄金比長方形の頂点
正十二面体→正二十面体の双対だから、二十面体の各面の重心

半正多面体のうち
切頂四面体
切頂六面体
切頂八面体
切頂十二面体
切頂二十面体
は、正多面体の各辺を三等分する点の座標として求めます。

立方八面体→立方体の各辺の中点
二十・十二面体→正二十面体の各辺の中点

斜方立方八面体
立方体の辺を切り落としたとして考える

斜方切頂立方八面体
立方八面体の各辺の三等分点

斜方切頂二十・十二面体
二十・十二面体の各辺上

ここまでは出来たのですが．．．
斜方二十・十二面体
変形立方体
変形十二面体
についてはまだ分かりません

半正多面体が出来たら、その双対も求めたいのですが．．．

頂点座標の求め方について情報を交換しませんか？

コメント(11)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 08月12日 21:45

頂点座標はネットのどこかにデータベースとしてあったとおもいますが・・・
（昔見たのですが思い出せません、すいません）

あと、気になった点がいくつかあります
（ほとんどはCGを作れるならやってみたらわかります）

切頂六面体、切頂十二面体は、正多面体の各辺を三等分する点の座標では
できません。

斜方切頂立方八面体
立方八面体の各辺の三等分点ではできません。

斜方切頂二十・十二面体
二十・十二面体の各辺上には頂点はきません。

斜方二十・十二面体
斜方立方八面体と考え方は同じでしょう。

半正多面体の双対は、面重心ではできないので別の方法を
考える必要があります。半正多面体には内接球がないのがその原因です。

[2] mixiユーザー 08月13日 01:34

斜方二十・十二面体
斜方二十・十二面体の内、正方形の面に注目します。
この面は、菱形30面体の各面と同じ位置に存在します。
菱形に内接する正方形を考えてみてください。

変形立方体・変形十二面体
学生の頃に調べました。
とても恥ずかしい内容なのですが、当時まとめたものを、WEB上に公開しています。
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/01.html
上記記事から順に読んでみてください。
右上・右下にある矢印をクリックしてページを進めます。

簡単に補足しておきます。
変形立方体の場合は、変形立方体に外接する正8面体から考えます。
正8面体を構成する正3角形に注目してください。
正3角形の頂点から、対辺をt：1-tに内分する点まで、直線を引いていきます。
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/02.html
そうすると、正3角形の真ん中に、さらに小さな正3角形が出来ます。
この小さな正3角形の頂点の位置が求まると、変形立方体の頂点全ての位置が求まります。
問題は、tがどんな値になるかということですが、
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/03.html
上記ページにその計算結果があります。
一応正確な値も記載されていますが（文字が潰れて読みにくいですが、3乗根を含む値になっています。）、約0.3522となります。

同様に、変形十二面体も、外接する正20面体から考え、正20面体の各面の中に、小さな正3角形を書いて求めます。
変形十二面体の場合のtの値も下記ページに記載されており、
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/03.html
約0.3398となっています。

3次方程式の解は、カルダノの公式を使って求めました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

他の立体は、がんばればなんとか求まるでしょう。

[3] mixiユーザー 08月13日 10:02

↑
上記のtの値ですが、以前googleの電卓機能で計算したのをブックマークしていました。
変形立方体のtの値は、
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q=%284%2B%286*%2833%5E%281%2F2%29%29-26%29%5E%281%2F3%29-%286*%2833%5E%281%2F2%29%29%2B26%29%5E%281%2F3%29%29%2F6&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=

変形十二面体のtの値は、
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q=%2812-4*%285%5E%281%2F2%29%29%2B%282754-1238*%285%5E%281%2F2%29%29%2B6*%28%281050*%285%5E%281%2F2%29%29-2322%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E%281%2F3%29%2B%282754-1238*%285%5E%281%2F2%29%29-6*%28%281050*%285%5E%281%2F2%29%29-2322%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E%281%2F3%29%29%2F6&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=

となります。
私のサイトの方は、文字が潰れて読みにくい部分もあったかと思いますが、上記と照らし合わせればわかると思います。

[4] mixiユーザー 08月13日 14:28

きれいにまとめられた論文があります。出版元からPDF版を直接購入できます。大学図書館の利用資格のある方は、複写請求という手もあります。

Peter W. Messer: Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002).

[5] mixiユーザー 08月14日 08:00

皆さんいろいろトレスありがとうございます。
ハルカさん
一部書き間違えてしまいました。適当に書いてしまいすみません。
ご指摘ありがとうございます。

幕賀品さん
ウェブページ参考にさせていただきます。貴重な情報をありがとうございます。多面体関連で日本語の情報って貴重ですよね。

wdさん
なんだか難しそうですが興味あります。こっちも調べて見たいと思います。

とりあえず自分で求めたものをちょっとずつアップするので皆さんからのコメントや突っ込み、アドバイスをお願いします。

座標のデータは、外接球の半径が1の場合で計算してあります
■立方体
一辺の長さをaとすると対角線（＝外接球の直径）を2とすると
√3a=2なのでa=2/√3
ここから頂点の座標8つを求めました
1/√3=0.577350269なので

頂点のリスト
1(0.577350269189626,0.577350269189626,0.577350269189626)
2(-0.577350269189626,0.577350269189626,0.577350269189626)
3(-0.577350269189626,-0.577350269189626,0.577350269189626)
4(0.577350269189626,-0.577350269189626,0.577350269189626)
5(0.577350269189626,0.577350269189626,-0.577350269189626)
6(-0.577350269189626,0.577350269189626,-0.577350269189626)
7(-0.577350269189626,-0.577350269189626,-0.577350269189626)
8(0.577350269189626,-0.577350269189626,-0.577350269189626)

面のリスト
[1,2,3,4][1,2,6,5][2,3,7,6][3,4,8,7][1,4,8,5][5,6,7,8]

辺のリスト
[1,2][2,3][3,4][1,4][1,5][2,6][3,7][4,8][5,6][6,7][7,8][5,8]
※面のリスト、辺のリストは頂点の番号で示しています

■正四面体
2枚目の画像のように立方体の頂点のうち適切な4つを選ぶと四面体になることから求める
頂点のリスト
1(0.577350269189626,0.577350269189626,0.577350269189626)
2(-0.577350269189626,-0.577350269189626,0.577350269189626)
3(-0.577350269189626,0.577350269189626,-0.577350269189626)
4(0.577350269189626,-0.577350269189626,-0.577350269189626)

面のリスト
[1,2,3][2,3,4][1,3,4][1,2,4]

辺のリスト
[1,2][2,3][3,4][1,4]

[6] mixiユーザー 08月15日 02:11

努力に水を差すようで申し訳ないですが、MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/
で該当の立体を引くと、導き方も含めて全部書いてあります。

たとえば、立方体の項目
http://mathworld.wolfram.com/Cube.html

[7] mixiユーザー 08月15日 22:53

wdさん
いろいろと貴重な情報ありがとうございます。
さすが学者さんですね！

教えていただいたページをいろいろと見てみたのですが．．．私のような素人には理解出来ない部分もあります。英語も苦手で．．。でも、ゆっくりと読んでいこうと思います。
私の書き込みに、情報としてなんの価値もないことは理解しています。しかし、私のように英語や数学が苦手でも多面体は好きな人も居ると思います。普通の高校レベルの数学で出せる方法を自分なりに考えてみたいと思います。
（そんな無駄な情報をコミュニティー内に書いてはまずいでしょうか？まずいようでしたら削除します）

[8] mixiユーザー 08月15日 23:25

管理人です。
いいぞもっとやれ！って感じです。
ただ、多面体の頂点算出って結構難しそうですよ。

気になってググったらこんな論文があるんですね↓
正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算
http://ci.nii.ac.jp/naid/110000491225

他、参考になりそうなサイト：
http://people.freebsd.org/~maho/mxico/Tamentai.html
http://mitani.cs.tsukuba.ac.jp/polyhedron/

[9] mixiユーザー 08月20日 00:20

takuさん
こんにちは。
自分のペースでやってみようと思います。今後もアドバイス等お願いします。

※外接球半径1
■正八面体
頂点のリスト
1(0,0,1)
2(1,0,0)
3(0,1,0)
4(-1,0,0)
5(0,-1,0)
6(0,0,-1)

面のリスト
[1,2,3][1,3,4][1,4,5][1,2,5]
[2,3,6][3,4,6][4,5,6][2,5,6]

辺のリスト
[1,2][1,3][1,4][4,5]
[2,3][3,4][4,5][2,5]
[2,6][3,6][4,6][5,6]

[10] mixiユーザー 08月20日 01:31

■正二十面体
正二十面体の一辺の長さと向かい合う辺の長さの比が黄金比になる性質を利用して求めました。3枚の黄金比の長方形を1枚目の画像のように配置し、頂点を結んでいくと二十面体になります。ということでこの長方形の頂点を求めていけば良いわけですね。
外接球の半径が1になるように長方形の大きさを決めます。
2枚目の画像の様に長方形の対角線が外接円の直径であることから一辺の長さを求めるとおよそ1.051462224です。長方形の長い方の辺の長さはおよそ1.701301617となります。
この値の半分0.525731112と0.850650808が求められます。

頂点のリスト
1(0.85065080835204,0.525731112119134,0)
2(0,0.85065080835204,0.525731112119134)
3(0.525731112119134,0,0.85065080835204)
4(0.85065080835204,-0.525731112119134,0)
5(0.525731112119134,0,-0.85065080835204)
6(0,0.85065080835204,-0.525731112119134)
7(-0.85065080835204,0.525731112119134,0)
8(-0.525731112119134,0,0.85065080835204)
9(0,-0.85065080835204,0.525731112119134)
10(0,-0.85065080835204,-0.525731112119134)
11(-0.525731112119134,0,-0.85065080835204)
12(-0.85065080835204,-0.525731112119134,0)

面のリスト
[1,2,3][1,3,4][1,4,5][1,5,6][1,6,2]
[2,3,8][3,4,9][4,5,10][5,6,11][6,2,7]
[2,8,7][3,8,9][4,9,10][5,10,11][6,7,11]
[8,7,12][8,9,12][9,10,12][10,11,12][7,11,12]

辺のリスト
[1,2][1,3][1,4][1,5][1,6]
[2,3][3,4][4,5][5,6][2,6]
[2,7][2,8][3,8,][3,9][4,9][4,10][5,10][5,11][6,11][6,7]
[7,12][8,12][9,12][10,12][11,12]

[11] mixiユーザー 10月01日 15:00

みなさんお久しぶりです
しばらく本業が忙しくて書き込み出来ずにいました。
中断している間に励ましのメッセージなどいただきありがとうございます。
さて、正多面体の最後の正十二面体です

■正十二面体
アプローチの方法は沢山あると思いますが今回は、すでに求めている正二十面体のデータを使ってアプローチしました。
正十二面体と正二十面体は双対の関係なので、正二十面体の各面の重心をつないでいけば正十二面体が出来るはずです。1枚目の画像がイメージですね。求めた頂点を半径1の球面に投影すれば外接球半径1の正十二面体の頂点の座標となります（2枚目の画像）。

1 (0,0.934172358962716,-0.35682208977309)
2 (0.934172358962716,0.35682208977309,0)
3 (0.577350269189626,0.577350269189626,0.577350269189626)
4 (0.577350269189626,0.577350269189626,-0.577350269189626)
5 (0,0.934172358962716,0.35682208977309)
6 (-0.577350269189626,0.577350269189626,-0.577350269189626)
7 (-0.577350269189626,0.577350269189626,0.577350269189626)
8 (-0.934172358962716,0.35682208977309,0)
9 (0,-0.934172358962716,0.35682208977309)
10 (-0.934172358962716,-0.35682208977309,0)
11 (-0.577350269189626,-0.577350269189626,0.577350269189626)
12 (0,-0.934172358962716,-0.35682208977309)
13 (-0.577350269189626,-0.577350269189626,-0.577350269189626)
14 (0.934172358962716,-0.35682208977309,0)
15 (0.577350269189626,-0.577350269189626,-0.577350269189626)
16 (0.577350269189626,-0.577350269189626,0.577350269189626)
17 (0.35682208977309,0,0.934172358962716)
18 (0.35682208977309,0,-0.934172358962716)
19 (-0.35682208977309,0,0.934172358962716)
20 (-0.35682208977309,0,-0.934172358962716)

面のリスト
[1,4,2,3,5][1,6,8,7,5][9,12,13,10,11][9,12,15,14,16][2,3,17,16,14][2,4,18,15,14][6,8,10,13,20][7,8,10,11,19][3,5,7,19,17][9,11,19,17,16][12,13,20,18,15][1,4,18,20,6]

辺のリスト
[1,4][1,5][1,6][2,3][2,4][2,14][3,5][3,17][4,18][5,7][6,8][6,20][7,8][7,19][8,10][9,11][9,12][9,16][10,11][10,13][11,19][12,13][12,15][13,20][14,15][14,16][15,18][16,17][17,19][18,20]

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ