大学受験☆「確率力」向上委員会コミュの?３回投げて、最大値が４の確率

　今回は、とても大事なテーマです。

　それでは、問題です。

　【?１】さいころを、３回投げるとき、次の確率を、求めよ。
　(１)　最大値が４以下
　(２)　最大値が４

　上級者は、(２)を、２通りで、解いて下さい。

　答えは、明日以降です。

コメント(12)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 03月18日 04:24

　解答の前に、みなさんに、お知らせがあります。コミュをたくさん作ったために、お問い合わせのメールを、いただくようになんりました。

　そこで、コミュを、掲示板代わりに、作りました。ご覧いただければ、現状と今後のことが、わかるようになっています。よろしくお願いします。

　けんけんコミュ☆掲示板
　http://mixi.jp/view_community.pl?id=4904548

　それでは、
　【?１】さいころを、３回投げるとき、次の確率を、求めよ。
　(１)　最大値が４以下

　の解答です。

　「最大値が４以下」の「言い換え」は、わかりますか？数学では、「言い換え」は、とても大事です。

　　　　　　　　　　最大値が４
　　　　　　　　　　　または
　　　　　　　　　　最大値が３
　最大値が４以下→　　または　　→　すべて４以下
　　　　　　　　　　最大値が２
　　　　　　　　　　　または
　　　　　　　　　　最大値が１
　
　「最大値が４以下」の「言い換え」は、「すべて４以下」なのです。覚えましょうね。

　したがって、答えは、すべて、４以下なので
　　　　　　(４/６)の３乗＝８/２７　　です。

　(２)は、明日以降に、書き込みます。

　「最大値が４」の「言い換え」を、考えて下さいね(笑)。
　

[3] mixiユーザー 03月19日 00:06

>元祖ﾓﾘﾉｼﾝさんへ

　いいですね。

　……ではなくて、きちんと、最後まで、「言い換え」ましょう。

　きちんと、「言い換え」が、できれば、それを、数式に換えることが、できます。

　その練習が、大事です。
　

[4] mixiユーザー 03月19日 01:58

【緊急告知】

　みなさんに、お知らせがあります。

　まだ、正式決定ではないですが、トピックに書き込んでいる「３個のさいころ」の確率の参考書を、作成する話が進行中です。

　出版社と、具体的に、協議しています。

　そこで、その参考書作成を、お手伝いできる方を、募集します。

　意気込みを書いて、直接下記アドレスまで、ご応募下さい。

　iinoken2001@yahoo.co.jp

　申し込み期限は、２０１０年３月いっぱいとさせて、いただきます。

　応募者多数の場合は、厳選させていただくことになります。

　謝礼は出ませんが、参考書を、一緒に作成することで「確率力」が、つくと思います。

　よろしくお願いします。
　

[5] mixiユーザー 03月20日 06:13

　いまだに、応募が一人もいないので、　昨日の、【緊急告知】を、訂正します(涙目)。

　申し込み期限は、ありません。いつでも、随時募集中です。

　応募いただけれ、全員もれなく参加いただけます。

　よろしくお願いします(笑)。

　さて、本題にもどりましょう。

　「最大値が４」の「言い換え」は、

　「すべてが４以下」かつ「少なくとも１つ４を含む」

　です。

　さて、この日本語を、どう数式化するですが、２通りあると、考えることができるように、なりましょう。

　ここでの２通りは、とても大事です。これから、何回も、出てくる【超重要事項】です。

　それは、「プラスの発想」と「マイナスの発想」です。

　「プラスの発想」とは、場合分けをして、分けて足す解法の流れです。

　「マイナスの発想」とは、大きな集合を作り、余分なものを引く解法の流れです。

　「最大値が４」は、この２つの解法で、できます。ぜひ、挑戦して下さい。

　２通りのやり方で、答えを出して、合えば、間違えていません。模範解答を見ずに、自分の答えが、合っているかどうかを、チェックできる力は、入試本番には、強力な武器になります。

　この続きは、明日以降です。

　

[6] mixiユーザー 03月20日 06:44

1/6×4/6×4/6×3C1＝1/4ですかね
確率で厄介なのは言い換えもですが、やはり記述力論証力かと
数式を立てれても、そこに至る過程を論じ記述するのに苦労します

[7] mixiユーザー 03月20日 09:13

＞アームさんへ

　最初の１／６は、１回目が、４の目ということですよね。

　これは、トピックの誤答例で、上げています。

　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=51036333&comm_id=4877346

　「１回目を決める危険」

　という奴ですね。

　並び替えの段階で、ダブりが、生じています。

　あれ、今気づきました。すでに、解答を、発表していましたね。

　正解は、３７／２１６　です。

　また、アームさん、トピック?のコメント４で、書き込んでいるように、分母と分子を分けて、考える解法も、身につけておくと、いいですね。

[10] mixiユーザー 03月24日 03:54

それでは、
【?１】さいころを、３回投げるとき、次の確率を、求めよ。
　(２)　最大値が４
　の解答を２通りで、解きます。

(解法１) 【解答】＜プラスの発想：場合分けして、分けて足す＞

　　　　　４が、何回出るかで、場合分けをして、
　　　　　１回　　２回　　３回
　　　　　　４　　　４　　　４　　　１通り
　　　　　　４　　　４　　　３以下　１×１×３×３＝９通り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「×３」は並べ替えです。
　　　　　　４　　　３以下　３以下　１×３×３×３＝２７通り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「×３」は並べ替えです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　計　３７通り
　　　　　　３７/２１６　　……(答)

　　　　

(解法２)≪考え方≫＜マイナスの発想：大きな集合より、余分なものを引く＞

　　　　　最大値が４→(すべてが４以下)かつ(少なくとも１つ４を含む)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓否定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(４を含まない)
　　　　　この、後半のみを、否定してから、集合の図を描くのがコツです。
　　　　

【解答】(すべて４以下)―(すべて３以下)なので
　　　　(４×４×４ー３×３×３)/（６×６×６）＝３７/２１６　　……(答)

　問題集の模範解答は、(解法２)が、よく載っていますが、３回に関しては、(解法１)と(解法２)で、そう変わらないと思います。両方で、解いて、解答のチェックをするのも、お勧めです。
　模範解答を見ずに、解答が合っているかどうか、見抜くのも、受験で大切な力です。

　ふだんは、「プラスの発想」と「マイナスの発想」の両方でするように、心がけましょう。

　実は、問題文が、４回になったり、ｎ回になった場合、圧倒的に、(解法２)の方が、よくなります。数字を、「３→４」「３→ｎ」に変えれば、いいだけです。そういった意味で、参考書の模範解答は、(解法２)にしているようです。

　生徒も、（解法２）を、覚えたら、最大値の問題は、「マイナスの発想」で解くという生徒が多いです。ででも、これは、単純に解法を覚えているだけで、実は危険なのです。そういう生徒に、私は、次の質問をします。

「この問題では、マイナスの発想で解いているね。それでは、最大値が４という問題は、すべてマイナスの発想で、解いた方がいいのかな？」

そうすると「たぶん、そうだと思います………。」

　という答が、とても多いです。それでは、次の問題を、やってみましょう。

【?２】　１～６までの番号が書かれた玉が１つずつ、計６個袋に入っている。この袋から、同時に３個玉を、取り出すとき、最大値が４になる確率を求めよ。

　答えは、明日以降です。

[11] mixiユーザー 03月24日 04:00

【?２】　１～６までの番号が書かれた玉が１つずつ、計６個袋に入っている。この袋から、同時に３個玉を、取り出すとき、最大値が４になる確率を求めよ。

　この解答です、

　【?１】と同じと考えて、つぎのような解答(マイナスの発想)を、する人が多いです。

(解法１) 【解答】 (すべて４以下)―(すべて３以下)なので
　　　　　　　(４Ｃ３ー３Ｃ３)/(６Ｃ３ )＝３/２０　　……(答)

　本当に、この解法が、いいのでしょうか？

　プラスの発想で、解いてみましょう。
(解法２)　【解答】４が１個取り出され、残りは３以下なので
　　　　　　　(３Ｃ２)/(６Ｃ３)＝３/２０　　……(答)

　明らかに、（解法１）より(解法２)の方がいいです。すなわち、最大値の問題は、すべて「マイナスの発想」で解くのが、いいというわけではなく、両方比較した上で、問題によって「プラスの発想」で。解いた方がいいときもあるし、「マイナスの発想」で、解いた方法が、いいときがあります。

　両方で計算して、チェックするのが、ベストです。

　ところで、ほとんど同じ問題に見えるのに、なぜ【?１】では、「マイナスの発想」の方が、よくて、【?２】では、「プラスの発想」の方が、いいのか、わかりますか？
　
これも、日本語の言い替えが、関係しています。

「最大値が４→(すべてが４以下)かつ(少なくとも１つ４を含む)」でしたね。

この「少なくとも１つ」が、キーワードです。【?１】では、「４を３回含む、４を２回含む、４を１回含む」ことがあり、面倒なので、「マイナスの発想」の方が、よくなるわけです。
【?２】では、４は、１個しかないので、このようなことには、ならないわけです。（解法２）の「プラスの発想」だけで十分です。
　
２つの問題の違いは、最大値の対象となる４が複数回、あるか、１回なのかの違いです。
　
これを、見極めて、使い分けましょう。

[12] mixiユーザー 08月10日 07:44

　上記の問題は、玉が２個ずつで、計１２個です。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ