「友愛数」とその他数論いろいろコミュの多様体

　龍一郎さんが「正多面体グラフ」のトピで書かれた次の疑問は、少しあいまいなので二通りに取れるのですが、両方の問いに対して解説します。

　＞１．いかなる空間でも正多面体の種類は五種類に限るのか
　＞２．おそらく１．は間違っているので、どのような空間があるのか

　１．
　「空間」というと普通「３次元ユークリッド空間」のことを思い浮かべますが、その場合「他の空間の多面体」は次元の数の違うユークリッド空間内に実現可能な多面体のことになります。
　これは、4次元では正多面体は6種類、5次元以上では全て3種類であることが知られています。
　もちろん、4次元の多面体は「面」ではなく「立体」が集まってできているので、「多胞体」と言ったりします　

　一番単純な4次元正多胞体は、正4面体が5個集まった、「正５胞体」です。
　これは奇数個の立体からなる多胞体です。

　　　　「4次元正多面体」の解説　24胞体の例
　　　　http://mathworld.wolfram.com/24-Cell.html

　２．
　「空間」という言葉は「多様体」のことを表している場合もあります。
　「多様体」とは、「小さな部分」を見る限りでは「ｎ次元ユークリッド空間」と同じもののことをいいます。
　全体像を見ると、穴が開いていたり、向きが付けられなかったり、さまざまな不思議な形でありうるわけです。

　球面の上の多面体の話をしている場合は、「別の空間の多面体」というと「別の2次元多様体＝曲面の上の多面体」のことになり、もしそれを普通の方法で3次元空間内に表現すると、その上の正多面体は見た目は所謂「正多面体」のような「美しさ」はありません。
　ただ、別の曲面を3次元空間内に表現する際、自分と交差してもよいことにすると、結構美しい多面体として実現可能です。

　　　　例　：　星型多面体
　　　　http://mathworld.wolfram.com/DodecahedronStellations.html
　　　　１２個の星型10角形で構成されています。
　　　　Ｔ－Ｓ＋Ｍ＝３２－６０＋１２＝－１６
　　　　Ｅ＝－２＊（Ｇ－１）
　　　　ただし、Ｅはオイラー数＝Ｔ－Ｓ＋Ｍ、Ｇは曲面の穴の数
　　　　ゆえに、9個の穴のあるドーナツ面の上の多面体であることが分かる。
　　　　正多面体ではありません。

　まえの「正多面体グラフ」のトピでコウ博士が問うているのは、「別の２次元多様体の上の多面体グラフの種類」です。

　ちなみに、２次元多様体は、球面にｍ個の「十字帽子」とｎ個の「円筒」をくっ付けたものに限られることが分かっています。

　　　　十字帽子‥‥見た目の形からそう呼ばれる。「メピウスの帯」と等価な面

　また正多面体でなくても、さまざまな条件を定めた多面体を考えれば、それらは「ある種の」美しさを持つものとなります。

　　　　ここに3次元、4次元の多面体の例があります
　　　　http://hometown.aol.com/polycell/uniform.html
　　　　ここは「多面体ミュージアム」　　
　　　　http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html
　　　　