数学の問題を出し合う場所コミュの大小比較の問題part2

大小比較の問題です。

[問題]
sin1ﾟと1/60はどっちが大か？

コメント(6)

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失礼します。
こちらの問題、少し苦労しました。エレガンスな解答を期待しています。
自分のはなんとかこじつけました。
ただしそれが正しいかどうか、こじつけられているかどうかは皆様(特にｸﾞﾐ様)の判断にまかせます。

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
π/180＝Aとおくと

sin1°＝sin A　である。

ところで、
ｘ＞0ならば
tan x＞x
が成り立つ

よって
tan A＞ A

平方して
(tan A)^2＞ A^2

(tan A)^2=sin^2 A/１－sin^2 Aより

sin^2 A/１－sin^2 A＞A^2

これをまとめると
sin A＞A/√｛A^2＋1｝=π/√(π^2＋180＾2)

また
1/60=π/√3600π^2

どこぞの問題で9.86<π^2＜9.87 とあったのでこれを用いると

π^2＋180＾2＜3600π^2
であることがわかる

よって
sin1ﾟ＞1/60
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
相変わらず数字の半角統一ができてなくて
申し訳ありません。
もちろんこれ以上にエレガントな解き方もありましょうから
皆様にそれはお願いします。

[2] mixiユーザー 07月07日 13:07

> taka改めryanさん

毎度ありがとうございます。正解です！ただ

9.67 < π^2 < 9.67

はおそらく本問を示すより難しい命題ですね(^-^;

もったいぶってもあれなんで用意していた解答を載せます。

代数的に示そうとするとπの評価が必要になるので、それを回避するために解析的に示します。

[解答]
原点とy=sinx上の点(π/6,1/2)を通る直線Lの方程式は

L : f(x)=(3/π)x

区間(0,π/6)でy=sinxは上に凸だから、0<x<π/6のとき

sinx > f(x)

特にx=π/180とすれば、

(sin1゜=) sin(π/180)
> (3/π)(π/180)
> 1/60

よって sin1゜> 1/60 //

Lとして原点と(π/2,sin(π/2))を通る直線としてもsinxを下から評価できますが、評価を良くするために(π/6,sin(π/6))を通る直線を用いました。

有名角を用いるとして、(π/12,sin(π/12))を通る直線を考えれば評価はさらによくなりますが、これは評価式に√が出てきて、見た目が美しくないのでπ/6を採用しました。

余談ですが、x>0のときsinx<x であることを用いればsin1゜を上から評価することもでき、本問の結果と合わせると

1/60 < sin1゜< π/180

が得られます。

[3] mixiユーザー 07月07日 16:21

>2

訂正

(誤)
9.67 < π^2 < 9.67

(正)
9.86 < π^2 < 9.87

[4] mixiユーザー 07月07日 20:34

πの評価が必須なことは認めますが
それほど厳しものでもありません

結果から
導きますと

π^2＞180^2/3599　であればいいわけです。

180^2/3599　は簡単な電卓で計算すると9.002・・・
となります。
π＞3と仮定したとしてもぎりぎり成り立たないくらいで、3.1なら余裕ですｗ

それと
値の小さいときは分母を比べてやると、いいんだなぁとこの問題で思いました。

といってもこれはやはり丸にはなりません。
どこぞの貴重な問題でもやはり9.86<π<9.87を使ってもよい
という「前置き」に使っているわけです。

仮にπの値を書きたいならばπの定義からきちんと示さねばならないでしょう。

実は私も図形から解くのかなと思っていましたが、解答のような思いつきはありませんでした。
嘘ではなくかなり昔のグミさんの出題に積分を使った大小比較があったように思います。
今回は積分どころか一次関数だったんですねw

少し乱暴でしたが違った形で不等式が示せて(!?)、おもろかったですf^^

[5] mixiユーザー 07月15日 23:00

こちらに書き込むべきか迷いましたがこの問題で少し考えたことがあります

それはsinxが有理数になるようなxです

具体的にはどのような値か‥
xが有理数としたらそんなものはありえないのか‥

sin 1 は有理数か無理数か…とか考えてたら、そういう思いが沸いてきました

なにか面白いxとsin xとの組み合わせがあれば癒やされますわ～