数学の問題を出し合う場所コミュの平均年齢

先日は国勢調査が行われましたね。
それにちなんでの問題です。

「ある地域で２００５年１０月１日と２０１０年１０月１日の男女別平均年齢を調べたところ、男女とも平均年齢は２０１０年調査の方が高いという結果が得られました。
このとき、その地域全体（男女計）での平均年齢は必ず２０１０年の方が高かったと言えるでしょうか？
言えるならそのことを証明し、言えないなら反例を挙げて下さい。」

コメント(5)

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[1] mixiユーザー 05月10日 00:37

…答）言えない

例
2005年で
男子 1才 1人
女子百歳百人
だったとする

そして五年後
…人の出入りを許せば
男子２歳 100人
女子 101歳 1人
となることがある

明らかに
2005年の方が平均年齢は高い

解いてみたらなんということはありません
ただ数式を駆使して解こうとすると（実際しましたが）もの凄い複雑に思えますいくつもの変数があるからです

単純に考えれば良かった

いやまさに
数式でいかなきゃという直感と現実の差ですね
数式で〉と思い込むと罠にはまったように悩んでしまいました

[2] mixiユーザー 05月14日 16:25

失礼いたします‥

この問題の条件を厳しくし、『男女それぞれの人数が2005年と2010年で同じ場合』を考えます

このような場合
問題にありますように

『男女とも平均年齢が2010年で高い場合、全体の平均年齢は必ず高くなる』と言えるでしょうか？
言葉のマジックというか直感と事実の違いというのはワクワクしますね

[3] mixiユーザー 05月14日 20:50

というよりも、この問題で『成り立たないための必要十分条件（仮）』考えろっつー話ですよね

それは『2010年で平均年齢が低い集団が 2005年で平均年齢の高い集団の年齢よりも低い』ということと思います
日本語変ですが
いわんとすることはっ

これも基本の考え方は高校数学ですが、内分を考えるとわかりました

例えば
男性１→２
女性３→４
としますと、

2005年は女性がやけに多いならば平均は３に限りなく近づきます（しかし３にはなりません）

次に2010年に男の子ばかりなら平均は限りなく2才に近づきます
という感じで人数が自由ならば必ず2010年の平均を低くすることができます…

最初年齢差がないとまた不可能です
内分する点は最初の年齢より大きくなってしまいます（これは2010年の最低が2005年の最高を超えないという上のことに含まれてはいますが、同じ年齢と仮定して解こうとしてたおいらからすりゃ無駄なことだったと冷や汗でした）

またこれからもわかるように上の問題の人数が各集団で変わらなかったらまず無理です
内分点はかならず2010年で大きくなります…

なんだか問題出されて少しだけ考えたときは本当にありえないとおもってしまってました
半年ずっと考えてたわけやありませんょ（汗

[4] mixiユーザー 05月14日 03:01

そうっす

こちらの問題は「シンプソンのパラドックス」という名称で有名みたいですね

先日ある本でお見受け致しました
えらく間が空きましたが発見してしまいました…
45へ～でした

[5] mixiユーザー 05月15日 08:14

> taka改めryanさん

出題しておいてちゃんと追ってませんでした。
遅くなってすみません。

答えは、既に書かれているとおり「言えない」です。
反例も挙げて頂いたとおりですね。

仕事柄このような統計分析（？）をすることが多く、全体を小群団に分けたときに、群団ごとの推移と全体の推移が異なることがよくあります。
具体的には、若干（かなり？）マニアックですが、養老保険の責任準備金単価（＝責任準備金÷契約保険金額）は加入年度別では一般に単調増加を示しますが、群団全体ではそうとも限らない、という話です。
これを問題チックにしたのがこのトピックでした。

「シンプソンのパラドックス」という用語は知りませんでした。
勉強になりました。

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