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数学の問題を出し合う場所コミュの３つの実数についての不等式の証明

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３つの実数についての不等式の証明

mixiユーザー 2010年10月08日 01:29

今日作ったばかりの問題です。

３つの実数ａ、ｂ、ｃについて、

ａ＜−１＜ｂ＜１＜ｃが成り立つとき、
ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＜−１であることを証明してくださいわーい（嬉しい顔）

コメント(4)

[1] mixiユーザー 10月08日 07:59

a+b+c=A
ab+bc+ca=B
abc=C

とおく。a,b,cが条件
a<-1<b<1<c

をみたすときB<-1を示せばおk

a,b,cを解にもつ三次方程式は

f(t):=t^3 -At^2 +Bt -C =0

で条件より(グラフより)

f(-1)>0 かつ f(1)<0
⇔A+B+C<-1 かつ -A+B-C<-1

辺々加えてB<-1 □


採点お願いしますm(__)m

[2] mixiユーザー 10月08日 08:35

> グミさん

お見事ですわーい（嬉しい顔）

僕の想定していた解答です指でOK

ａ、ｂ、ｃを解にもつ３次方程式を利用するのがポイントですね。

ちょっと易しすぎましたかね

[3] mixiユーザー 10月09日 15:14

別解です。


f(a,b,c)=ab+bc+ca とおく。

a<-1<b<1<cのとき、
（ b+c>0より、fをaについての一次関数と見ると単調増加であること等に注意して ）

f(a,b,c) < f(-1,b,c) < f(-1,b,1) = -1

[4] mixiユーザー 10月09日 17:24

> きりさん

こんな別解があったとはふらふら

シンプルかつエレガントで素晴らしいですわーい（嬉しい顔）

しかしある意味三次関数のグラフをもってくるよりも自然な解答なのかもしれませんね。

勉強になりました顔(願)

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